Tìm giá trị nhỏ nhất

[datlvmpn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mọi số dương x, y, z thỏa x + y+ z = 3xyz. TÌm giá trị nhỏ nhất của P =

 

[vansang02121998]

Ta có $x+y+z=3xyz$ và $x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$

$\rightarrow xyz \ge \sqrt[3]{xyz}$

$\leftrightarrow xyz \ge 1$

Lại có $xy+xz+yz \le \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = 3x^2y^2z^2$

$\rightarrow P \ge xyz+\dfrac{1}{3x^2y^2z^2}$

Áp dụng Cauchy

$\dfrac{xyz}{3}+\dfrac{xyz}{3}+\dfrac{1}{3x^2y^2z^2} \ge 1$

Có $xyz \ge 1 \rightarrow \dfrac{xyz}{3} \ge \dfrac{1}{3}$

Cộng vế với vế, ta có $xyz+\dfrac{1}{3x^2y^2z^2} \ge \dfrac{4}{3}$

$\rightarrow P \ge \dfrac{4}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$