Tìm giá trị nhỏ nhất

[happy.swan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực dương a, b, c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêyr thức sau
$P=\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(b+a)^2}+\frac{(a+c-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+b-a)^2}{a^2+(b+c)^2}$

Đề vừa kiểm tra của trường mình làm giúp nha.

 

[vodichhocmai]

Cho ba số thực dương a, b, c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêyr thức sau
$P=\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(b+a)^2}+\frac{(a+c-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+b-a)^2}{a^2+(b+c)^2}$

Đề vừa kiểm tra của trường mình làm giúp nha.

KỸ THUẬT CHUẨN HÓA

[tex]\blue f (tx_1;tx_2...tx_n)=t^{\alpha}f(x_1;x_2...x_n)[/tex] hàm thuần nhất

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của một tam giác .

[TEX]a)\red CMR: \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\ge 4\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)\ \ (!)[/TEX]

[TEX]\red b) a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}[/TEX]

a)Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức trên là thuần nhất vì [TEX]f(ta;tb;tc)=t^{-1}f(a;b;c)[/TEX]
Không mất tính tổng quát của bài toán ta chuẩn hoá [TEX]a+b+c=1[/TEX]

[TEX] (ycbt)\leftrightarrow \sum_{cyclic}\frac{5a-1}{a-a^2}\le 9\ \ \ \ \ \ voi\ \ a+b+c=1[/TEX]
Xét [TEX] 0<x<\frac{1}{2} [/TEX] ta có :

:-SS[TEX]\frac{5x-1}{x-x^2}-(18x-3)=\frac{36\(x-\frac{1}{3}\)^2\(x-\frac{1}{2}\)}{x-x^2}\le 0[/TEX]

[TEX] \righ \frac{5x-1}{x-x^2}\le 18x-3[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc}\frac{5a-1}{a-a^2}\le 18\sum_{cyc}a-9=9 \ \ (dpcm)[/TEX]

b)Bất đẳng thức trên là thuần nhất vì [tex]f(ta;tb;tc)=t^{-1}f(a;b;c)[/tex]

Không mất tính tổng quát ta chuẩn hoá [tex]a+b+c=9[/tex]

[tex](ycbt)\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{1}{4}[/tex]

Dễ dàng chứng minh được :

[tex]\frac{a}{(9-a)^2}\ge \frac{a}{18}-\frac{1}{12}[/tex]

[tex]\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{a+b+c}{18}-\frac{3}{12}[/tex]

[tex]\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{1}{4}\ \ (dpcm)[/tex]

Sau khi giải bài nầy xong , ta tự hỏi vì sao tác giả lại biết con số [tex]y=18x-3[/tex]. Từ đó ta có nhận xét sau đây .Nếu trong một giới hạn [tex]\(\alpha ; \beta \)[/tex] nào đó , tồn tại một tiếp tuyến tại điểm [tex]x=x_0[/tex] có phương trình [tex]y=ax+b[/tex] thì ta luôn có [tex]f(x)\ge ax+b\ \ [/tex] hoặc [tex]f(x)\le ax+b\ \ [/tex] ngoại trừ [tex]x_0[/tex] là tọa độ điểm uốn . Nhờ tính chất hình học đó , ta có thể giải một số bài bất đẳng thức có dạng [tex]T\ge \sum_{cyclic} f(a) [/tex] hay [tex]T\le \sum_{cyclic} f(a) [/tex]

[tex]a)\red Cho\ \ a+b+c=6\ \ CMR:\ \ a^4+b^4+c^4\ge 2(a^3+b^3+c^3\)[/tex]
[TEX]b)\red a,b,c>0\ \ a+b+c=1\ \ CMR:\ \ \frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\ge\frac{27}{5}[/TEX]

Nhận thấy rằng điểm tới hạn tại [tex]a=b=c=2[/tex] và bất đẳng thức có dạng :[tex] (a^4-2a^3)+(b^4-2b^3)+(c^4-2c^3)\ge 0 [/tex] Hay : [tex] f(a)+f(b)+f( c )\ge 0[/tex].
Nếu [tex]f(x)=x^4-2x^3[/tex] thì tiếp tuyến tại [tex]x=2[/tex] là [tex]y=8x-16[/tex] .
Xét [tex]f(x)-(8x-16)=(x-2)^2(x^2-2x+4)\ge 0[/tex] . Từ đó ta có lới giải sau :

Ta luôn có :

[tex]a^4-2a^3-(8a-16)=(a-2)^2(a^2-2a+4)\ge 0[/tex]

[tex]\rightarrow a^4-2a^3\ge 8a-16[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc} (a^4-2a^3)\ge 8\sum_{cyc}a -48 [/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc}(a^4-2a^3)\ge 0\ \ (dpcm) [/tex]

b)Dễ dàng chứng minh được :

[TEX]\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{-108a}{25}+\frac{243}{75}[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyclic}\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{-108(a+b+c)}{25}+\frac{243}{25}[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyclic}\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{27}{5}[/tex]

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ & \ \ a+b+c=3\ \ CMR:\ \ a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR:\ \ 3({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào . Nó cũng dễ

[TEX]\red a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \leq 8[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch Mỹ

[TEX]\red a,b,c>-\frac{3}{4}\ \ &\ \ a+b+c=1 \ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch Ba Lan

[TEX]\red a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\ge\frac{3}{5}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài Olympic Nhật Bản

[TEX]\red a,b,c>0\ \ &\ \ a+b+c=1 \ \ CMR:\ \ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\ge 1[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch [TEX]China[/TEX]

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR: \sum_{cyclic}\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\le\frac{6}{5}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài [TEX] Olympic\ \ 30-4-2006 [/TEX]

Bosjeunhan: Em nghĩ vô địch các nước toàn dùng tiếp tuyến )

 

[bosjeunhan]

Cho ba số thực dương a, b, c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêyr thức sau
$P=\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(b+a)^2}+\frac{(a+c-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+b-a)^2}{a^2+(b+c)^2}$

Đề vừa kiểm tra của trường mình làm giúp nha.

Chuẩn hóa $a+b+c=1$
Bất đẳng thức tương đương:
$\sum \dfrac{1}{2a^2-2a+1} \le \dfrac{27}{5}$
Lại có: $\dfrac{1}{2a^2-2a+1} \le \dfrac{54a+27}{25}$ với $x \in (0;1)$ (Tiếp tuyến)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

 

[happy.swan]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$
Bất đẳng thức tương đương:
$\sum \dfrac{1}{2a^2-2a+1} \le \dfrac{27}{5}$
Lại có: $\dfrac{1}{2a^2-2a+1} \le \dfrac{54x+27}{25}$ với $x \in (0;1)$ (Tiếp tuyến)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Mình không hiểu lắm, Bạn có cách nào đơn giản và dễ hiểu hơn không?
Giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hoá là gì được không?
Mình rất hi vọng không phải hỏi lại lần nữa.

 

[bosjeunhan]

Mình không hiểu lắm, Bạn có cách nào đơn giản và dễ hiểu hơn không?
Giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hoá là gì được không?
Mình rất hi vọng không phải hỏi lại lần nữa.

Mình không nghĩ có thể giải thích cụ hơn anh khanhsy được.

Với một bất đẳng thức thuần nhất thì bạn có thể áp dụng phương pháp chuẩn hóa này.

 

[vy000]

Bạn có thể sử dụng pp chuẩn hoá cho các BĐT đồng bậc .
VD: Cho $a,b,c>0$ ; CMR: $f(a)+f(b)+f(c) \ge g(a)+g(b)+g(c)$ với $f(x);g(x)$ đồng bậc. Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c chẳng hạn, khi đó bạn có thể chuẩn hoá $a+b+c=\alpha$ là 1 số bất kỳ nào đó như 1,2,3,4,5,...

Lại có: $\dfrac{1}{2a^2-2a+1} \le \dfrac{54a+27}{25}$ với $x \in (0;1)$ (Tiếp tuyến)

Làm thế nào để tìm cái vế phải??

 

[happy.swan]

Xét hàm số:
f(x) = $\frac{1}{2x^2-2x+1}$ đúng với mọi x thoả mãn điều kiện mà mình đăt ở trên.
Cần chứng minh:
f(x) \leq $ m(x-x_o)+n$

Với $m= \frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$
Sau khi rút gọn trên thay giá trị $x_o$ vào tìm được m

$n= f(x_o)$

$x_o$ là giá trị để dấu bằng xảy ra.

(Bây giờ mình mới hiểu cách làm bấy lâu là chuẩn hoá, làm thầy chỉ không nói cách nên nghe mù tịt luôn)

Cám ơn các bạn giúp đỡ.