Tìm giá trị nhỏ nhất

H

hn3

[TEX]A=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{(x-y)^2+2xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2+2}{x-y}[/TEX] (do [TEX]xy=1[/TEX])

[TEX]<=> \ (x-y)^2-A(x-y)+2=0 (1)[/TEX]

Do [TEX]x>y>0[/TEX] => để A tồn tại thì (1) phải có nghiệm :

[TEX]\Delta_(1)=A^2-8 \geq 0[/TEX]

[TEX]<=> \ A \geq 2\sqrt{2}[/TEX]

Dấu "=" khi :

[TEX]\left{\begin{\frac{(x-y)^2+2}{x-y}=2\sqrt{2}}\\{xy=1}[/TEX]

Em tụ giải nó nhé .
 
N

noinhobinhyen

dung bđt Cô-Si cho tiện.
[TEX]A=\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2-2}{a-b}= (a-b)+\frac{2}{a-b}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A \geq 2\sqrt[]{(a-b).\frac{2}{a-b}} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow A \geq 2\sqrt[]{2} [/TEX]
 
B

bosjeunhan

Áp dụng AM-GM luôn a à:|

$A=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}=(x-y)+\dfrac2{x-y} \ge 2\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $\begin{cases}x-y=\sqrt2\\xy=1\end{cases}$ (có nghiệm^^)
 
P

phatthemkem

tiện tay giải giùm mình mấy bài này luôn:
1) tìm GTNN của $Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2} + \frac{y^{10}}{x^2})$ + $\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})$ - $(1+x^2y^2)^2$
2) c/m rằng: $(x+y)^2 - xy + 1$ \geq $(x + y)\sqrt{3}$
3) Cho $x>1, y>1$, tìm GTNN của:
$M$= $\frac{(x^3 + y^3)-(x^2 + y^2)}{(x-1)(y-1)}$
 
Last edited by a moderator:
P

phatthemkem

Min $A$= $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ với $x>y>0, xy = 1$
Giải: $A$=$\frac{x^2+y^2}{x-y}$= $(x-y)$+$\frac{2}{x-y}$\geq $2\sqrt{2}$
\Rightarrowmin $A$=$2\sqrt{2}$ khi $\left\{\begin{matrix}x-y= \frac{2}{x-y}\\ xy=1 \end{matrix}\right.$
\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom