Toán 8 Tìm giá trị nhỏ nhất khi cho điều kiện [tex]x,y,z[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x,y,z>0[/tex] thỏa mãn: [tex]x+y+z=2020[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}[/tex]
Thanks

 

[Lê Tự Đông]

Cho [tex]x,y,z>0[/tex] thỏa mãn: [tex]x+y+z=2020[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}[/tex]
Thanks

Ta có:
$(x-y)^{2} \geq 0$ => $x^{2}+y^{2} \geq 2xy$ => $x^{2}+y^{2}+2xy \geq 4xy$=> $(x+y)^{2} \geq 4xy$ => $\frac{xy}{x+y} \leq \frac{x+y}{4}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{yz}{y+z} \leq \frac{y+z}{4}$; $\frac{zx}{z+x} \leq \frac{z+x}{4}$
$P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy} = \frac{x^{2}}{\frac{yz}{y+z}} + \frac{y^{2}}{\frac{zx}{z+x}}+\frac{z^{2}}{\frac{xy}{x+y}} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x}+\frac{xy}{x+y}} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x+y+y+z+z+x}{4}} = 2(x+y+z)=2.2020=4040$
=> MINP=4040