Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a+b+c=3[/tex]. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}[/tex]

 

[TranPhuong27]

Có [tex]a^2+b^2 = \frac{1}{2}[(a+b)^2+(a-b)^2][/tex] và [tex]ab=\frac{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2][/tex]

[tex]\Rightarrow a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2-\frac{1}{4}(a-b)^2=\frac{3}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2 \geq \frac{3}{4}(a+b)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^2}=\frac{(a+b)\sqrt{3}}{2}[/tex]

Tương tự rồi cộng vế:

[tex]P \geq \sqrt{3}(a+b+c)=3\sqrt{3}[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c=1[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Cách 2: Xài Minkowski
[tex]P=\sum \sqrt{a^2+ab+b^2}=\sum \sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2}\geq \sqrt{(a+\frac{1}{2}b+b+\frac{1}{2}c+c+\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c))^2}=\sqrt{(\frac{3}{2}(a+b+c))^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c))^2}=3\sqrt{3}[/tex]