Toán 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x,y,z>0;x+y+z=3[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}[/tex]
Thanks

 

[VannyTraanf]

Ta có: $x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}+z^{2}+x^{2} \geq 2xy+2yz+2zx$
=> $3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq 2xy+2yz+2zx+x^{2}+y^{2}+z^{2} = (x+y+z)^{2} = 9$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$
$P= \frac{1}{x^{2}+2yz}+\frac{1}{y^{2}+2zx}+\frac{1}{z^{2}+2xy} \geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geq \frac{3}{3} =1$

Hông dc đâu em nhỉ.
$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq \frac{3}{3} $Chứ em.
$x^{2}+y^{2}+z^{2}$ nằm ở mẫu mà.

Từ P đến 3/3 có 1 khai triển Bất đẳng thức bắt cầu ko cùng chiều nên fail.

 

[Lê.T.Hà]

Ủa sao ta ko làm thế này? [tex]VT\geq \frac{9}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=\frac{9}{9}=1[/tex]