tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 4 số thực a,b,x,y thay đổi thỏa mãn $ax-by=\sqrt{3}$.Tìm MIN của T biết:
$$T=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$$

 

[braga]

Sử dụng giả thiết $ax-by=\sqrt{3}$ ta có:
$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ax-by)^2=(ax+by)^2+3$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ , suy ra:
$$\begin{array}(
a^2+b^2+x^2+y^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2) \\
\ge 2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}=2\sqrt{(ax+by)^2+3}
\end{array}$$
Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: $2\sqrt{x^2+3}+x$ trong đó $x=ax+by$
Ta có:
$$\begin{array}(
\left(2\sqrt{x^2+3}+x\right)^2=4(x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+x^2 \\
=(x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+4x^2+9\\
=\left( \sqrt{x^2+3}+2x \right)^2+9\ge 9
\end{array}$$
$$\Rightarrow 2\sqrt{x^2+3}+x\ge 3$$
Vậy $\text{MinT}=\fbox{3}$

 

[tuyetroimuahe_9x]

Sử dụng giả thiết $ax-by=\sqrt{3}$ ta có:
$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ax-by)^2=(ax+by)+3$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ , suy ra:
$$\begin{array}(
a^2+b^2+x^2+y^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2) \\
\ge 2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}=2\sqrt{(ax+by)^2+3}
\end{array}$$
Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: $2\sqrt{x^2+3}+x$ trong đó $x=ax+by$
Ta có:
$$\begin{array}(
\left(2\sqrt{x^2+3}+x\right)^2=4(x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+x^2 \\
=(x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+4x^2+9\\
=\left( \sqrt{x^2+3}+2x \right)^2+9\ge 9
\end{array}$$
$$\Rightarrow 2\sqrt{x^2+3}+x\ge 3$$
Vậy $\text{MinT}=\fbox{3}$

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ax-by)^2=(ax+by)+3$$

Sai rồi, phải là:
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(bx+ay)^2+(ax-by)^2=(bx+ay)+3$
Sửa lại các bước sau nữa