Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P=x^2+y^2+2x+4y[/tex] với x;y thỏa mãn điều kiện

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x[/tex] và [tex]y[/tex] là các số thực không âm thỏa mãn: [tex]2(x^2+y^2)+4xy-x-y\geq 3[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=x^2+y^2+2x+4y[/tex]

 

[Nguyễn Linh_2006]

Cho [tex]x[/tex] và [tex]y[/tex] là các số thực không âm thỏa mãn: [tex]2(x^2+y^2)+4xy-x-y\geq 3[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=x^2+y^2+2x+4y[/tex]

Với [tex]x[/tex] và [tex]y[/tex] là các số thực không âm, ta có:
[tex]2(x^2+y^2)+4xy-x-y\geq 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+2xy)-(x+y)\geq 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x+y)^2-(x+y)-3\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+1)[2(x+y)-3]\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x+y\geq \frac{3}{2}[/tex] (vì [tex]x;y>0[/tex])

BTP: [tex]a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2[/tex]

Có : [tex]P=x^2+y^2+2x+4y[/tex]
[tex]P=(x^2+2x+1)+(y^2+4y+4)-5[/tex]
[tex]P=(x+1)^2+(y+2)^2-5[/tex]

Áp dụng BTP có:
[tex](x+1)^2+(y+2)^2\geq \frac{1}{2}.(x+1+y+2)^2=\frac{1}{2}(x+y+3)^2[/tex]
mà [tex]\Leftrightarrow x+y\geq \frac{3}{2}[/tex]
Do đó: [tex](x+1)^2+(y+2)^2\geq\frac{1}{2}.(\frac{3}{2}+3)^2=\frac{81}{8}[/tex]
hay [tex]P\geq \frac{41}{8}[/tex]

Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{4} & \\ y=\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.[/tex]