Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex] P=\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}+\frac{(x+y)^2}{xy}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực [tex]x;y[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}+\frac{(x+y)^2}{xy}[/tex]

 

[Lee Tuan Canh]

[tex]P=(x+y)^{2}\left [ \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy} \right ]\geq (x+y)^{2}\left [ \frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}+\frac{2}{4xy} \right ]=(x+y)^{2}\left [ \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}} \right ]=6[/tex]
Dấu '=" xảy ra khi x=y

 

[Windeee]

[tex]P=(x+y)^{2}\left [ \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy} \right ]\geq (x+y)^{2}\left [ \frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}+\frac{2}{4xy} \right ]=(x+y)^{2}\left [ \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}} \right ]=6[/tex]
Dấu '=" xảy ra khi x=y

Bài của bạn sai vì [tex]xy>0[/tex] là điều chưa chắc chắn.

 

[7 1 2 5]

Ta thấy: [tex]P=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}[/tex]
Đặt [TEX]t=\frac{x^2+y^2}{xy}[/TEX] thì ta có [TEX]t \leq -2[/TEX] hoặc [TEX]t \geq 2[/TEX]
Khi đó [tex]P=3+\frac{2}{t}+t[/tex]. Nhận thấy P nhỏ nhất khi [TEX]t<0[/TEX]
Mà khi t càng tiến tới [TEX]-\infty[/TEX] thì P cũng tiến tới [TEX]-\infty[/TEX] nên P không có giá trị nhỏ nhất.