Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 4(a^3+b^3+c^3)+15abc

[nguyenmivan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giac có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 4(a^3+b^3+c^3)+15abc

 

[harrypham]

Bạn có thể xem chứng minh của bài toán này tại đây.

 

[congchuaanhsang]

Cách giải khác

Bạn nguyenmivan có thể giải theo cách sau:
Ta áp dụng BĐT phụ: Với a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì
(a+b-c)(b+c-a)(a+b-c)\leqabc (cái này ko khó cm đâu bạn)
\Leftrightarrow(2-2c)(2-2b)(2-2a)\leqabc
Khai triển ra rồi thu gọn ta đk:
8(ab+bc+ca)-8-8abc\leqabc
\Leftrightarrow9abc+8-8(ab+bc+ca)\geq0
\Leftrightarrow(27/4)abc+6-6(ab+bc+ca) (chia cả 2 vế cho 4/3)
\Leftrightarrow(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+(27/4)abc\geq2(vì a+b+c=2)
\Leftrightarrow(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(27/4)abc\geq2
\Leftrightarrowa^3+b^3+c^3-3abc+(27/4)abc\geq2
\Leftrightarrowa^3+b^3+c^3+(15/4)abc\geq2
\Leftrightarrow4a^3+4b^3+4c^3+15abc\geq8
Vậy min P=8\Leftrightarrowa=b=c=2/3