Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\sqrt{x+4}+\sqrt{2y+4}+\sqrt{3z+4}$

[Hang person]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]F=\sqrt{x+4}+\sqrt{2y+4}+\sqrt{3z+4}[/imath]

 

[2712-0-3]

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]F=\sqrt{x+4}+\sqrt{2y+4}+\sqrt{3z+4}[/imath]

Hang personDo [imath]x,y,z\geq 0; x+y+z=12 \Rightarrow 0 \leq x,y,z \leq 12[/imath]
Khi này: [imath]\sqrt{x+4} \leq 4 \Rightarrow \sqrt{x+4} \geq \dfrac{x+4}{4} = \dfrac{16-y-z}{4} =4 - \dfrac{y}{4} - \dfrac{z}{4}[/imath]
Ta sẽ đi chứng minh: [imath]\sqrt{2y+4} - \dfrac{y}{4} \geq 2 (1)[/imath] và [imath]\sqrt{3z+4} - \dfrac{z}{4} \geq 2 (2)[/imath]
[imath](1) \Leftrightarrow 0\leq y \leq 16[/imath] và [imath](2) \Leftrightarrow 0\leq z \leq 32[/imath].
Hai điều này luôn đúng, từ đó suy ra [imath]F \geq 4+2+2=8[/imath]
Dấu bằng xảy ra khi [imath]x=12;y=z=0[/imath]