Tìm giá trị max

[syro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số thực dương thoả mãn điều kiện [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3[/TEX] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
[TEX]Q=\frac{ab}{a^3+b^3}+\frac{bc}{b^3+c^3}+\frac{ca}{c^3+a^3}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thoả mãn điều kiện [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3[/TEX] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
[TEX]Q=\frac{ab}{a^3+b^3}+\frac{bc}{b^3+c^3}+\frac{ca}{c^3+a^3}[/TEX]

[tex]b^3+c^3 \ge 2ab\sqrt{ab} [/tex]

[tex] \frac{ab}{a^3+b^3} \le \frac{1}{2\sqrt{ab}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})[/tex]
Các BDT khác tương tự ta có :


Cộng Các BDT :
Nên: [TEX]Q=\frac{ab}{a^3+b^3}+\frac{bc}{b^3+c^3}+\frac{ca}{c^3+a^3} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \le \frac{3}{2}[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

ta có

[TEX]\sum \frac{ab}{a^3+b^3} = \sum \frac{1}{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}}[/TEX]

theo bdt cauchy schwarz có

cái trên[TEX] \leq \sum \frac{1}{a+b}[/TEX] (1)

lại có bat sau [TEX] \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}[/TEX]

\Rightarrow VP(1)[TEX] \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

=[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]