Toán 10 Tìm giá trị lớn nhất

[Kitahara]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $x \geq 4, y \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\sqrt{x^{2}(y-1)}+6 \sqrt{y^{2}(x-4)}-2 x y+10$.
Giúp em nhé. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@iceghost @Mộc Nhãn @Blue Plus @Cáp Ngọc Bảo Phương @Trần Nguyên Lan @kido2006
@vangiang124

 

[2712-0-3]

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $x \geq 4, y \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\sqrt{x^{2}(y-1)}+6 \sqrt{y^{2}(x-4)}-2 x y+10$.
Giúp em nhé. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@iceghost @Mộc Nhãn @Blue Plus @Cáp Ngọc Bảo Phương @Trần Nguyên Lan @kido2006
@vangiang124

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
[imath]\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \dfrac{xy-x+x}{2} = \dfrac{xy}{2}[/imath]
[imath]6\sqrt{y^2 (x-4)} = 3\sqrt {4y(xy-4y)}\leq \dfrac{3(xy-4y+4y)}{2} = \dfrac{3xy}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow A \leq 10[/imath]
Dấu = xảy ra khi x=8; y=2
Nếu còn điều gì thắc mắc, bạn có thể đăng hỏi dưới câu trả lời nhé, mình và các bạn khác sẽ tích cực giải đáp ^^
Bạn cũng có thể tham khảo 1 số kiến thức ôn thi học kì dưới box này nha !!
https://diendan.hocmai.vn/threads/tong-hop-topic-on-thi-hoc-ki.841342/

 

[vangiang124]

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $x \geq 4, y \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\sqrt{x^{2}(y-1)}+6 \sqrt{y^{2}(x-4)}-2 x y+10$.
Giúp em nhé. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@iceghost @Mộc Nhãn @Blue Plus @Cáp Ngọc Bảo Phương @Trần Nguyên Lan @kido2006
@vangiang124

Ta có $\sqrt{x^{2}(y-1)}=x \sqrt{y-1}$

Mà $\sqrt{y-1}=\sqrt{(y-1)\cdot 1} \le \dfrac12 (y-1+1)$ (Cosi)

Suy ra $\sqrt{x^{2}(y-1)} \le \dfrac12 xy$

Tương tự: $6 \sqrt{y^{2}(x-4)}=6y \sqrt{x-4}=3y \cdot 2\cdot \sqrt{x-4}$

Mà $2\cdot \sqrt{x-4}=\sqrt{2^2 \cdot (x-4)} \le \dfrac12 [4+(x-4)]$ (Cosi)

Suy ra $6 \sqrt{y^{2}(x-4)} \le \dfrac{3}2 xy$

Vậy $A \le \dfrac12 xy+\dfrac{3}2 xy-2 x y+10 =10$

$\max A =10 $khi và chỉ khi $\begin{cases} x-4=4 \\y-1=1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=8 \\ y=2 \end{cases}$
___________

Em tham khảo thêm nha, có gì không hiểu thì hỏi lại nhé
1. Mệnh đề, tập hợp
2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
3. Phương trình, hệ phương trình
4. Vector
5. Tích vô hướng của 2 vector

 

[Hanna Rin]

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
[TEX]\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \dfrac{xy-x+x}{2} = \dfrac{xy}{2}[/TEX]
[TEX]6\sqrt{y^2 (x-4)} = 3\sqrt {4y(xy-4y)}\leq \dfrac{3(xy-4y+4y)}{2} = \dfrac{3xy}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \leq 10[/TEX]
Dấu = xảy ra khi x=8; y=2
Nếu còn điều gì thắc mắc, bạn có thể đăng hỏi dưới câu trả lời nhé, mình và các bạn khác sẽ tích cực giải đáp ^^
Bạn cũng có thể tham khảo 1 số kiến thức ôn thi học kì dưới box này nha !!
https://diendan.hocmai.vn/threads/tong-hop-topic-on-thi-hoc-ki.841342/

Sao lại suy ra A<=10 ạ

 

[2712-0-3]

Sao lại suy ra A<=10 ạ

Bạn thử cộng các vế vào xem, nó sẽ có 2xy trừ đi 2xy rồi hết

 

[Hanna Rin]

Bài này ngoài bất đẳng thức Cô si còn có thể áp dụng bất đăng thức nào khác để chứng minh không ạ?