Toán 9 Tìm giá trị lớn nhất

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực DƯƠNG [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y\leq 1[/TEX] và [TEX]xyz=1[/TEX]. Tìm GTLN của biểu thức sau:

[tex]P=\frac{1}{1+4x^2}+\frac{1}{1+4y^2}-\sqrt{1+z}[/tex] ​

 

[Lê.T.Hà]

Bài này điểm rơi vào mút nhưng kết quả rất xấu, nhìn chán lắm
[tex]xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow z\geq 4[/tex]
[tex]P\leq \frac{2}{1+4xy}-\sqrt{1+z}=\frac{2z}{z+4}-\sqrt{1+z}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{1+z}=t\geq \sqrt{5}\Rightarrow P\leq \frac{2t^2-2}{t^2+3}-t=\frac{-t^3+(\sqrt{5}+1)t^2-3t+3\sqrt{5}-5}{t^2+3}+1-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{5}-t)(t^2-t+3-\sqrt{5})}{t^2+3}+1-\sqrt{5}\leq 1-\sqrt{5}[/tex]

 

[mbappe2k5]

Bài này điểm rơi vào mút nhưng kết quả rất xấu, nhìn chán lắm
[tex]xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow z\geq 4[/tex]
[tex]P\leq \frac{2}{1+4xy}-\sqrt{1+z}=\frac{2z}{z+4}-\sqrt{1+z}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{1+z}=t\geq \sqrt{5}\Rightarrow P\leq \frac{2t^2-2}{t^2+3}-t=\frac{-t^3+(\sqrt{5}+1)t^2-3t+3\sqrt{5}-5}{t^2+3}+1-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{5}-t)(t^2-t+3-\sqrt{5})}{t^2+3}+1-\sqrt{5}\leq 1-\sqrt{5}[/tex]

Chị ơi, cho em hỏi chút chỗ bôi đỏ ở đây chị dùng BĐT gì để chứng minh [tex]\frac{1}{1+4x^2}+\frac{1}{1+4y^2}\leq \frac{2}{1+4xy}[/tex] vậy ạ?

 

[Lê.T.Hà]

Một hệ quả rất quen thuộc mà bạn, với các số dương, ta có hiệu:
[tex]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(ab+1)}[/tex]
Do đó nếu [tex]ab\geq 1\Rightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}[/tex]
[tex]0<ab \leq 1\Rightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}[/tex]