Tìm giá trị lớn nhất

T

tigerboy

Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

tigerboy said:
Cho [TEX]x ,y ,z > 0[/TEX] thoả mãn [TEX]xyz + x + z = y[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P = \frac{2}{1 + x^2} - \frac{2}{1 + y^2} + \frac{3}{1 + z^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:
[TEX]z=\frac{y-x}{1+xy}[/TEX]Thay vào P ta được:
[TEX]P= \frac{(y-x)(5x-y)}{(1+x^2)(1+y^2)} + 3[/TEX]
Theo AM-GM ta có:
[TEX]\frac{(y-x)(5x-y)}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq \frac{(3y-3x+5x-y)^2}{12(1+x^2)(1+y^2)}[/TEX]
[TEX]= \frac{(x+y)^2}{12(1+x^2)(1+y^2)} \leq \frac{(x+y)^2}{3(x+y)^2}=\frac{1}{3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P \leq \frac{10}{3}[/TEX]
 
T

thaisonb1

bboy114crew said:
Ta có:
[TEX]z=\frac{y-x}{1+xy}[/TEX]Thay vào P ta được:
[TEX]P= \frac{(y-x)(5x-y)}{(1+x^2)(1+y^2)} + 3[/TEX]
Theo AM-GM ta có:
[TEX]\frac{(y-x)(5x-y)}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq \frac{(3y-3x+5x-y)^2}{12(1+x^2)(1+y^2)}[/TEX]
[TEX]= \frac{(x+y)^2}{12(1+x^2)(1+y^2)} \leq \frac{(x+y)^2}{3(x+y)^2}=\frac{1}{3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P \leq \frac{10}{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

([TEX]z=\frac{y-x}{1+xy}[/TEX]Thay vào P ta được:)
sao ta lai co z=.. duoc??:confused:
 
B

bboy114crew

tigerboy said:
Cho [TEX]x ,y ,z > 0[/TEX] thoả mãn [TEX]xyz + x + z = y[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P = \frac{2}{1 + x^2} - \frac{2}{1 + y^2} + \frac{3}{1 + z^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cách khác!
Ta có:
[TEX]xyz + x + z = y \Leftrightarrow xz+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}=1/TEX] Do đó ta có thể đặt : [TEX]x=\frac{tanA}{2};\frac{1}{y}=\frac{tanB}{2};z=\frac{tanC}{2}[/TEX]
Từ đó ta tính được:
[TEX]P=-3sin^2.\frac{C}{2} + 2 sin. \frac{C}{2}.cos.\frac{A-B}{2}+3[/TEX]
[TEX] = -3(sin .\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos .\frac{A-B}{2})^2+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \leq \frac{1}{3}cos^2 \frac.{A-B}{2}+3\leq \frac{1}{3}+3[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom