Tìm giá trị lớn nhất và nhất hàm 3 biến

[trinhthiphuong1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ z \ge 0 \\ x + y + z = 1 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
1)[TEX]f(x,y,z) = x[/TEX]
2)[TEX]f(x,y,z) = xy[/TEX]
3)[TEX]f(x,y,z) = x{y^2}{z^3}[/TEX]
4)[TEX]f(x,y,z) = xy + yz + zx[/TEX]
5)[TEX]f(x,y,z) = {x^2} + {y^2} + {z^2}[/TEX]
6)[TEX]f(x,y,z) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz[/TEX]
7)[TEX]f(x,y,z) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xyz[/TEX]
8)[TEX]f(x,y,z) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3xyz[/TEX]
9) [tex]f(x,y,z) = x + yz + xyz[/tex]
10) [tex]f(x,y,z) = {x^3}y + y{z^3} + {z^3}x[/tex]

 

[vungocthanhsp2]

Nhiều quá nhỉ:
Làm 1 ý cho vui
ý 9)
[TEX]f(x,y,z) = x + yz + xyz[/TEX]
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ z \ge 0 \\ x + y + z = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1 \\ y + z = 1 - x \\ \end{array} \right.[/TEX]
[TEX]yz \le \frac{{(y + z)^2 }}{4} = \frac{{(1 - x)^2 }}{4}[/TEX]
[TEX]f(x,y,z) = x + yz + xyz \le x + \frac{{(1 - x)^2 }}{4} + x.\frac{{(1 - x)^2 }}{4} = x + \frac{{1 - 2x + x^2 }}{4} + \frac{{x - 2x^2 + x^3 }}{4} = \frac{{x^3 - x^2 + 3x + 1}}{4} = g(x)[/TEX]
[TEX]g'(x) = \frac{{3x^2 - 2x + 3}}{4} > 0,\forall x \Rightarrow g(x) \le g(1) = 1\Rightarrow f(x,y,z) \le 1khi\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = z = 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]

 

[vungocthanhsp2]

[TEX]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 [/TEX]

ý 5) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
[TEX]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 [/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} = \frac{{(x + y + z)^2 }}{3} \le x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 1 - 2(xy + yz + zx) \le 1[/TEX]
Do [TEX]xy + yz + zx \ge 0[/TEX]
Vậy
[TEX]\min f(x,y,z) = \frac{1}{3}khi{\rm{x = y = z = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}[/TEX]
[TEX]m{\rm{axf(x,y,z) = 1khi}}\left[ \begin{array}{l}x = y = 0;z = 1 \\ x = z = 0;y = 1 \\ y = z = 0;x = 1 \\ \end{array} \right.[/TEX]

 

[vungocthanhsp2]

ý 6 , 7 , 8

Ý 6 và 7 và 8 đều giải được theo phương pháp chung:
Ta có
[TEX]x^2 + y^2 + z^2 = \left( {x + y + z} \right)^2 - 2(xy + yz + zx) = 1 - 2(xy + yz + zx)[/TEX]
Dễ dang chứng minh được :[TEX](x + y - z).(y + z - x)(z + x - y) \le xyz[/TEX]
Từ x+ y + z =1 .Ta được:
[TEX](1 - 2z)(1 - 2x)(1 - 2y) \le xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 - 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) - 8xyz \le xyz \Leftrightarrow xy + yz + zx \le \frac{{9xyz + 1}}{4}[/TEX]
và [TEX]xyz \le \frac{{\left( {x + y + z} \right)^3 }}{{27}} = \frac{1}{{27}}[/TEX]
Bắt đầu

ý 6)
[TEX]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - xyz = 1 - (2xy + 2yz + 2zx + xyz)[/TEX]
[TEX]0 \le 2xy + 2yz + 2zx + xyz \le \frac{{9xyz + 1}}{2} + xyz = \frac{{11xyz + 1}}{2} \le \frac{{19}}{{27}}[/TEX]
[TEX] \to \frac{3}{{27}} \le f(x,y,z) \le 1[/TEX]
[TEX]M{\rm{axf(x,y,z) = 1khi}}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{y = z = 0}} \\ {\rm{x = 1}} \\ \end{array} \right.[/TEX]
[TEX]{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf(x,y,z) = }}\frac{{\rm{8}}}{{{\rm{27}}}}khix = y = z = \frac{1}{3}[/TEX]

 

[vungocthanhsp2]

Tương tự như cách giải ý 6 ta hoàn toàn làm được ý 7 và ý 8 tương tự