Đề bài : Tìm hằng số lớn nhất $ \displaystyle k$ sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $ \displaystyle a,b,c \ge 0 \ ; \ a+b+c=1 $.
$$ a^3+b^3+c^3+kabc \ge \frac{1}{9}+\frac{k}{27} \quad{(1)}$$
Lời giải :
Trong $ \displaystyle (1)$ cho $ \displaystyle a=b=\frac{1}{2} \ ; \ c=0 $ thỏa $ \displaystyle a,b,c \ge 0 \ ; \ a+b+c=1 $ để thu được
$$ \frac{15}{4} \ge k $$
Ta sẽ chứng minh $ \displaystyle (1)$ đúng với $ \displaystyle k=\frac{15}{4} $. Tức là trong điều kiện $ \displaystyle a,b,c \ge 0 \ ; \ a+b+c=1 $, ta sẽ chứng minh
$$ a^3+b^3+c^3+\frac{15abc}{4} \ge \frac{1}{4} \quad{(2)}$$
Thật vậy có
$$ a^3+b^3+c^3+\frac{15abc}{4} - \frac{1}{4} \\
= a^3+b^3+c^3+\frac{15abc}{4} - \frac{(a+b+c)^3}{4} \\
=\frac{3}{4} \cdot \left[ a^3+b^3+c^3+3abc- ab \left(a+b \right) -bc \left( b+c \right) -ca \left(c+a \right) \right] \ge 0 $$
Cuối cùng tổng kết lại
$$ k_{\max}=\frac{15}{4} $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn