Toán 8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Kaito Kidㅤ]

Có: [tex]\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+b^2+1+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+c^2+1+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+a^2+1+2}[/tex]
Giờ dùng Cauchy nhé
[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+b^2+1+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+c^2+1+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+a^2+1+2}\\\leq \frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}\\=\frac{1}{2}.(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1})\\=\frac{1}{2}(\frac{bc}{b+bc+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{ab}{a+1+ab})\\=\frac{1}{2}(\frac{bc}{bc+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{1+bc+b})\\=\frac{1}{2}.1=...[/tex]
Dấu Pằng sảy da khi a=b=c=1

 

[Khôi Bùi]

Do [tex]a^2 ; b^2 \geq 0[/tex]
Áp dụng BĐT Cô- si , ta có :
[tex]a^2 + b^2 \geq 2ab ; b^2 + 1 \geq 2\sqrt{b^2} = 2b[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2 + b^2 + b^2 + 1 + 2 \geq 2ab + 2b + 2[/tex]
[tex]\Rightarrow 1/a^2 + 2b^2 + 3 \leq 1/2ab + 2b + 2[/tex] ( 1 )
CMTT , ta có :
1/b^2 + 2c^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2bc + 2c + 2 ( 2 )
1/c^2 + 2a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2ac + 2a + 2 ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 )
=> 1/a^2 + 2b^2 + 3 + 1/b^2 + 2c^2 + 3 1/c^2 + 2a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2ab + 2b + 2 + 1/2bc + 2c + 2 + 1/2ac + 2a + 2
=> 1/a^2 + 2b^2 + 3 + 1/b^2 + 2c^2 + 3 1/c^2 + 2a^2 + 3[tex]\leq[/tex] 1/2(1/ab + b + 1 + 1/bc + c + 1 + 1/ac + a + 1) (*)
Lại có: 1/ab + b + 1 + 1/bc + c + 1 + 1/ac + a + 1
= 1/ab + b + 1 + ab/ab.bc + abc + ab + b/abc + ab + b
= 1/ab + b + 1 + ab/b + 1 + ab + b/1 + ab + b
= 1+ab+b/ab + b + 1
= 1
( *')
Từ (*); (*') , có :
1/a^2 + 2b^2 + 3 + 1/b^2 + 2c^2 + 3 + 1/c^2 + 2a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c = 1