1.Cho 3 số thực dương thoả mãn
Tìm Giá trị bé nhất của biểu thức: P=x^3+y^3+z^3
Giải
Ta có: [TEX](x^2+y^2+4)^2=(x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{1}{2}}.y^{\frac{3}{2}}+2^{ \frac{1}{2}}.2^{ \frac{3}{2}})^2 \leq (x+y+2)(x^3+y^3+8) \Rightarrow x^3+y^3+8 \geq \frac{(x^2+y^2+4)^2}{x+y+2}(1)[/TEX]
Tương tự ta cũng có:
[TEX]y^3+z^3+8 \geq \frac{(y^2+z^2+4)^2}{y+z+2}(2)[/TEX]
[TEX]x^3+y^3+8 \geq \frac{(z^2+x^2+4)^2}{z+x+2}(3)[/TEX]
Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được:
[TEX]2P+24 \geq \frac{(x^2+y^2+4)^2}{x+y+2}+\frac{(y^2+z^2+4)^2}{y+z+2}+\frac{(z^2+x^2+4)^2}{z+x+2} \geq \frac{[2(x^2+y^2+z^2)+12]^2}{2(x+y+z)+6}[/TEX]
(áp dụng BĐT: [TEX]\frac{a^2}{A}+\frac{b^2}{B}+\frac{c^2}{C} \geq \frac{(a+b+c)^2}{A+B+C}; a,b,c,A,B,C >0[/TEX])
Ta có:
[TEX]*12^2=(\sqrt{x^2+y^2+8}+\sqrt{y^2+z^2+8}+\sqrt{z^2+x^2+8})^2 \leq3.[2(x^2+y^2+z^2)+24 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 12[/TEX]
[TEX]*(x+y+4)^2=(x+y+2+2)^2 \leq 4(x^2+y^2+4+4)=4(x^2+y^2+8) \Rightarrow x+y+4 \leq 2\sqrt{x^2+y^2+8}[/TEX]
Tương tự: [TEX]y+z+4 \leq 2\sqrt{y^2+z^2+8},z+x+4 \leq 2\sqrt{z^2+x^2+8}[/TEX]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
[TEX]2(x+y+z)+12 \leq 2.12 \Rightarrow x+y+z \leq 6[/TEX]
Vậy Ta có:
[TEX]2P+24 \geq \frac{(2.12+12)^2}{2.6+6}=72 \Leftrightarrow P \geq 24 \Rightarrow MinP=24 khi x=y=z=2[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
.gif)
.gif)
.gif)
