Toán 12 Tìm $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x.\cos(x+\frac{\pi }{4})}\, \mathrm{d}x$

[TyhLinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nguyên hàm:
[tex]\int \frac{1}{sinx.cos(x+\frac{\pi }{4})}dx[/tex]

 

[iceghost]

Khai triển $\cos\left(x + \dfrac{\pi}4\right)$ ra, bỏ căn 2 cho dễ nhìn thì chung quy lại mình cần đi tính: $$I = \int \dfrac{1}{\sin x \cos x - \sin x^2} \, \mathrm{d}x$$
Để ý: tử và mẫu mang bậc chẵn (0 và 2) nên ta nghĩ tới chuyện đặt $t = \tan x \implies \mathrm{d}t = \dfrac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x$. Khi đó: $$I = \int \dfrac{1}{t - t^2} \, \mathrm{d}t$$
Tới đây là tích phân căn bản rồi, bạn làm tiếp nhé

Nếu có câu hỏi, thắc mắc gì, bạn có thể hỏi lại bên dưới. Chúc bạn học tốt!

 

[Bùi Tấn Phát]

Tìm nguyên hàm:
[tex]\int \frac{1}{sinx.cos(x+\frac{\pi }{4})}dx[/tex]

$\cos(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt2}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}(\cos x-\sin x)$
$\Rightarrow \int \dfrac{dx}{\sin x.\cos(x+\frac{\pi }{4})}=\int \dfrac{\sqrt2dx}{\sin x.(\cos x-\sin x)}=\int\dfrac{\sqrt2dx}{\sin x.\cos x.(1-\dfrac{\sin x}{\cos x})}=\int\dfrac{\sqrt2dx}{\sin x.\cos x.(1-\tan x)}$
$=\int\dfrac{\sqrt2dx}{\cos^2x.\dfrac{\sin x}{\cos x}.(1-\tan x)}=\int\dfrac{\sqrt2(\tan^2x+1)}{\tan x.(1-\tan x)}dx$

Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=(tan^2x+1)dx$

$\Rightarrow \int\dfrac{\sqrt2(\tan^2x+1)}{\tan x.(1-\tan x)}dx=\int\dfrac{\sqrt2dt}{t(1-t)}=\sqrt2.\int(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t-1})=\sqrt2(\ln|t|-\ln|t-1|)+C=\sqrt2(\ln|tan x|-\ln|\tan x-1|)+C$
Mình gửi bạn, chúc bạn học tốt