- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
xét hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. [tex]K=[a;b];K=(a;b);K=(a;b];K=[a;b)[/tex]
trong đó [tex]a,b\in \mathbb{R}[/tex] hoặc [tex]K=\mathbb{R}[/tex]
GTLN, GTNN của f(x) tại [tex]x_0\in(a;b)[/tex] trên K [tex]<=>f'(x_0)=0[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}(a_nx^n+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} +\infty,a_n>0\\ -\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}(a_nx^{2n}+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} +\infty,a_n>0\\ -\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}(a_nx^{2n+1}+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} -\infty,a_n>0\\ +\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
- nếu [tex]\underset{x\rightarrow m}{lim}f(x)=-\infty[/tex] thì hàm số không có GTNN.
- nếu [tex]\underset{x\rightarrow m}{lim}f(x)=+\infty[/tex] thì hàm số không có GTLN.
ví dụ 1: trên đoạn [1;4], hàm số [tex]f(x)=x^2+ax+b;g(x)=x+\frac{4}{x^2}[/tex] có GTNN đạt tại cùng 1 điểm. tính giá trị a+b.
ta có: [tex]g(x)=x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{4}{x^3}}=3[/tex]
dấu bằng xảy ra tại x=2.
vậy [tex]ming(x)=g(2)=3[/tex]
theo giả thiết thì:
[tex]\left\{\begin{matrix} f(2)=3\\ f'(2)=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} 2^2+2a+b=3\\ 2.2+a=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} a=-4\\ b=7 \end{matrix}\right.[/tex]
suy ra a+b=3
ví dụ 2: cho [tex]f(x)=ax^3+bx+c[/tex] có [tex]\underset{(-\infty;0)}{max}f(x)=f(-1)[/tex]. tìm GTLN trên [tex][\frac{1}{2};2][/tex]
nếu a<0 thì không tồn tại giá trị lớn nhất khi [tex]x\in (-\infty;0)[/tex]. do đó [tex]a\geq 0[/tex]
[tex]f'(x)=3ax^2+b[/tex]
do [tex]f(-1)[/tex] là GTLN nên [tex]f'(-1)=0<=>3a+b=0<=>b=-3a[/tex]
suy ra [tex]f(x)=ax^3-3ax+c[/tex]
xét trên đoạn [tex][\frac{1}{2};2][/tex]
[tex]f'(x)=0<=>3ax^2-3a=0x<=>x=\pm 1[/tex] =>x=1.
[tex]max=max\left \{ f(\frac{1}{2}),f(1) ,f(2)\right \}=max\left \{ c-\frac{11}{8}a ;c-2a;c+2a\right \}=c+2a[/tex]
trong đó [tex]a,b\in \mathbb{R}[/tex] hoặc [tex]K=\mathbb{R}[/tex]
GTLN, GTNN của f(x) tại [tex]x_0\in(a;b)[/tex] trên K [tex]<=>f'(x_0)=0[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}(a_nx^n+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} +\infty,a_n>0\\ -\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}(a_nx^{2n}+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} +\infty,a_n>0\\ -\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}(a_nx^{2n+1}+...+a_1x+a_0)=\left\{\begin{matrix} -\infty,a_n>0\\ +\infty,a_n<0 \end{matrix}\right.[/tex]
- nếu [tex]\underset{x\rightarrow m}{lim}f(x)=-\infty[/tex] thì hàm số không có GTNN.
- nếu [tex]\underset{x\rightarrow m}{lim}f(x)=+\infty[/tex] thì hàm số không có GTLN.
ví dụ 1: trên đoạn [1;4], hàm số [tex]f(x)=x^2+ax+b;g(x)=x+\frac{4}{x^2}[/tex] có GTNN đạt tại cùng 1 điểm. tính giá trị a+b.
ta có: [tex]g(x)=x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{4}{x^3}}=3[/tex]
dấu bằng xảy ra tại x=2.
vậy [tex]ming(x)=g(2)=3[/tex]
theo giả thiết thì:
[tex]\left\{\begin{matrix} f(2)=3\\ f'(2)=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} 2^2+2a+b=3\\ 2.2+a=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} a=-4\\ b=7 \end{matrix}\right.[/tex]
suy ra a+b=3
ví dụ 2: cho [tex]f(x)=ax^3+bx+c[/tex] có [tex]\underset{(-\infty;0)}{max}f(x)=f(-1)[/tex]. tìm GTLN trên [tex][\frac{1}{2};2][/tex]
nếu a<0 thì không tồn tại giá trị lớn nhất khi [tex]x\in (-\infty;0)[/tex]. do đó [tex]a\geq 0[/tex]
[tex]f'(x)=3ax^2+b[/tex]
do [tex]f(-1)[/tex] là GTLN nên [tex]f'(-1)=0<=>3a+b=0<=>b=-3a[/tex]
suy ra [tex]f(x)=ax^3-3ax+c[/tex]
xét trên đoạn [tex][\frac{1}{2};2][/tex]
[tex]f'(x)=0<=>3ax^2-3a=0x<=>x=\pm 1[/tex] =>x=1.
[tex]max=max\left \{ f(\frac{1}{2}),f(1) ,f(2)\right \}=max\left \{ c-\frac{11}{8}a ;c-2a;c+2a\right \}=c+2a[/tex]
