- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đây là dạng bài thường gặp trong chương I. Và hàm thường gặp nhất là hàm bậc 3. Để làm được dạng bài này chỉ cần nắm được lí thuyết:
1. Hàm f(x) là ĐB trên khoảng (a;b) khi [TEX]f'(x) \geq 0[/TEX] với mọi x thuộc (a;b). Dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b).
2. Hàm f(x) là NB trên khoảng (a;b) khi [TEX]f'(x) \leq 0[/TEX] với mọi x thuộc (a;b). Dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b)
Riêng với hàm bậc nhất / bậc nhất thì không được phép lấy dấu "=" , vì khi dấu "=" xảy ra, hàm trở thành hàm hằng.
1. Tìm m để hàm số: [tex]y=\frac{1}{3}x^3+(m+2)x^2-(m+2)x+3[/tex]
a. ĐB trên R.
b. ĐB trên khoảng (2;+oo)
Lời giải:
a.[tex]y'=x^2+2(m+2)x-(m+2)[/tex]
Để hàm ĐB trên R thì: [tex]y'\geq 0,\forall x[/tex]
[TEX]y'[/TEX] là tam thức bậc 2 có hệ số a>0 , nên nó luôn dương khi [tex]\Delta '\leq 0<=>(m+2)^2+(m+2)\leq 0<=>(m+2)(m+3)\leq 0<=>-3\leq m\leq -2[/tex]
Vậy ĐK cần tìm là : [tex]-3\leq m\leq -2[/tex]
b. Với bài toán tìm điều kiện của m để hàm đơn điệu trên khoảng, thì cách làm thường là cô lập m và x.
[tex]x^2+2(m+2)x-(m+2)\geq 0,\forall x\epsilon (2;+\infty )<=>(m+2)(2x-1)\geq -x^2<=>m\geq \frac{x^2}{1-2x}-2[/tex]
Đặt [TEX]g(x)=\frac{x^2}{1-2x}-2[/TEX]
Muốn điều kiện trên luôn được thỏa mãn, ta phải có:
[tex]m\geq maxg(x)[/tex] với x thuộc (2;+oo)
[tex]g(x)=\frac{x^2}{1-2x}-2=>g'(x)=\frac{2x-2x^2}{(1-2x)^2}[/tex]
[TEX]g'(x) <0[/TEX] với mọi x thuộc (2;+oo), do đó g(x) max đạt tại x=2. Ta có: [tex]g(2)=\frac{-4}{3}[/tex]
Vậy điều kiện cần tìm của m là : [tex]m\geq \frac{-4}{3}[/tex]
2. Tìm m để hàm số: [tex]y=\frac{mx-m}{x-m}[/tex] ĐB trên khoảng (2;+oo)
Lời giải:
ĐKXĐ: [tex]x\neq m[/tex]
Ta có: [tex]y'=\frac{-m^2+m}{(x-m)^2}[/tex]
Điều kiện cần: [tex]y'>0<=>m-m^2>0<=>0<m<1[/tex]
Điều kiện đủ : hàm số phải xác định với mọi x thuộc khoảng (2;+oo). Tức là nghiệm của mẫu không được nằm trong khoảng (2;+oo).
Ta có: [tex]x=m[/tex] mà [tex]x>2=>m\leq 2[/tex] thì pt x-m = 0 vô nghiệm
Vậy ta kết hợp được điều kiện cần tìm là : [TEX]0<m<1[/TEX]
3. Tìm m để hàm số : [tex]y=(x^2+1)^3+2mx^2+2m+1[/tex] ĐB trên khoảng (0;+oo)
Lời giải: Với những bài hàm số phức tạp thế này thì không nên đạo hàm và giải luôn, mà phải đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.
Ta nhận thấy: [tex]y=(x^2+1)^3+2m(x^2+1)+1[/tex].
Vậy đặt [TEX]x^2+1=t[/TEX]. Do x thuộc (0;+oo) nên t thuộc (1;+oo)
Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số: [TEX]f(t)=t^3+2mt+1[/TEX] ĐB trên khoảng (1;+oo)
[tex]f'(t)=3t^2+2m=>f'(t)\geq 0<=>m\geq \frac{-3t^2}{2}[/tex]
Ta có: max của [TEX] \frac{-3t^2}{2}[/TEX] đạt tại t=1 => [tex]m\geq \frac{-3}{2}[/tex] là điều kiện cần tìm
1. Hàm f(x) là ĐB trên khoảng (a;b) khi [TEX]f'(x) \geq 0[/TEX] với mọi x thuộc (a;b). Dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b).
2. Hàm f(x) là NB trên khoảng (a;b) khi [TEX]f'(x) \leq 0[/TEX] với mọi x thuộc (a;b). Dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b)
Riêng với hàm bậc nhất / bậc nhất thì không được phép lấy dấu "=" , vì khi dấu "=" xảy ra, hàm trở thành hàm hằng.
1. Tìm m để hàm số: [tex]y=\frac{1}{3}x^3+(m+2)x^2-(m+2)x+3[/tex]
a. ĐB trên R.
b. ĐB trên khoảng (2;+oo)
Lời giải:
a.[tex]y'=x^2+2(m+2)x-(m+2)[/tex]
Để hàm ĐB trên R thì: [tex]y'\geq 0,\forall x[/tex]
[TEX]y'[/TEX] là tam thức bậc 2 có hệ số a>0 , nên nó luôn dương khi [tex]\Delta '\leq 0<=>(m+2)^2+(m+2)\leq 0<=>(m+2)(m+3)\leq 0<=>-3\leq m\leq -2[/tex]
Vậy ĐK cần tìm là : [tex]-3\leq m\leq -2[/tex]
b. Với bài toán tìm điều kiện của m để hàm đơn điệu trên khoảng, thì cách làm thường là cô lập m và x.
[tex]x^2+2(m+2)x-(m+2)\geq 0,\forall x\epsilon (2;+\infty )<=>(m+2)(2x-1)\geq -x^2<=>m\geq \frac{x^2}{1-2x}-2[/tex]
Đặt [TEX]g(x)=\frac{x^2}{1-2x}-2[/TEX]
Muốn điều kiện trên luôn được thỏa mãn, ta phải có:
[tex]m\geq maxg(x)[/tex] với x thuộc (2;+oo)
[tex]g(x)=\frac{x^2}{1-2x}-2=>g'(x)=\frac{2x-2x^2}{(1-2x)^2}[/tex]
[TEX]g'(x) <0[/TEX] với mọi x thuộc (2;+oo), do đó g(x) max đạt tại x=2. Ta có: [tex]g(2)=\frac{-4}{3}[/tex]
Vậy điều kiện cần tìm của m là : [tex]m\geq \frac{-4}{3}[/tex]
2. Tìm m để hàm số: [tex]y=\frac{mx-m}{x-m}[/tex] ĐB trên khoảng (2;+oo)
Lời giải:
ĐKXĐ: [tex]x\neq m[/tex]
Ta có: [tex]y'=\frac{-m^2+m}{(x-m)^2}[/tex]
Điều kiện cần: [tex]y'>0<=>m-m^2>0<=>0<m<1[/tex]
Điều kiện đủ : hàm số phải xác định với mọi x thuộc khoảng (2;+oo). Tức là nghiệm của mẫu không được nằm trong khoảng (2;+oo).
Ta có: [tex]x=m[/tex] mà [tex]x>2=>m\leq 2[/tex] thì pt x-m = 0 vô nghiệm
Vậy ta kết hợp được điều kiện cần tìm là : [TEX]0<m<1[/TEX]
3. Tìm m để hàm số : [tex]y=(x^2+1)^3+2mx^2+2m+1[/tex] ĐB trên khoảng (0;+oo)
Lời giải: Với những bài hàm số phức tạp thế này thì không nên đạo hàm và giải luôn, mà phải đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.
Ta nhận thấy: [tex]y=(x^2+1)^3+2m(x^2+1)+1[/tex].
Vậy đặt [TEX]x^2+1=t[/TEX]. Do x thuộc (0;+oo) nên t thuộc (1;+oo)
Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số: [TEX]f(t)=t^3+2mt+1[/TEX] ĐB trên khoảng (1;+oo)
[tex]f'(t)=3t^2+2m=>f'(t)\geq 0<=>m\geq \frac{-3t^2}{2}[/tex]
Ta có: max của [TEX] \frac{-3t^2}{2}[/TEX] đạt tại t=1 => [tex]m\geq \frac{-3}{2}[/tex] là điều kiện cần tìm
