Cho:
[math]A=1^4+2^4+3^4+...+n^4[/math][math]B=1+2+3+...+n[/math]tìm điều kiện cho n để A⋮ B
dangxuanchuonTrước tiên, không quá khó để quy nạp tính được công thức tổng quát của A theo n, như sau:
[imath]A=\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}[/imath]
và [imath]B=\dfrac{n(n+1)}{2}[/imath]
Để A chia hết cho B, khi [imath](2n+1)(3n^2+3n-1)\vdots 15[/imath] tức chia hết cho 3 và 5.
Hiển nhiên, [imath]3n^2+3n-1[/imath] không chia hết cho 3, nên [imath]2n+1[/imath] chia hết cho 3 hay [imath]n\equiv 1 (\mod 3)[/imath]
TH1: [imath]2n+1\vdots 5\Rightarrow 2n-4\vdots 5 \Rightarrow n-2\vdots 5 \Rightarrow n\equiv 2(\mod 5)[/imath]
TH2: [imath]3n^2+3n-1\vdots 5 \Rightarrow 6n^2+6n-2\vdots 5\Rightarrow n^2 +6n -2 \vdots 5 \Rightarrow (n+3)^2 -1\vdots 5[/imath]
[imath]\Rightarrow (n+2)(n+4)\vdots 5 \Rightarrow n\equiv 1 (\mod 5)[/imath] hoặc [imath]n\equiv 3 (\mod 5)[/imath]
Từ đó ta suy ra điều kiện của n là [imath]n\equiv 1 , 7, 13 (\mod 15)[/imath]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
