Tìm cực trị

[Khánh Linh.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Tìm Min:
A= [tex]\frac{x^{2}-2x+2011}{x^{2}}[/tex] với x [tex]\neq[/tex] 0

2,Chứng minh:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a(b+c+d)[/tex] với a,b,c,d là các số thực
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

3, Cho x,y,z là các số thực tùy ý.Tìm Min: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-3y[/tex]

4,Tìm Min:
M= [tex]\sqrt{(x-1999)^{2}}+\sqrt{(x-2000)^{2}}+\sqrt{(x-2011)^{2}}[/tex]
Cảm ơn nhiều ☺☺☺♥♥

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$1.\\A=\dfrac{x^{2}-2x+2011}{x^{2}}=\dfrac{2011(x^{2}-2x+2011)}{2011x^{2}}=\dfrac{2011x^2-4022x+2011^2}{2011x^2}\\=\dfrac{(x^2-4022x+2011^2)+2010x^2}{2011x^2}=\dfrac{(x-2011)^2}{2011x^2}+\dfrac{2010}{2011}\geq \dfrac{2010}{2011}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=2011$
Vậy...
$3.\\x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-3y\\=(x^2-4x+4)+(y^2-3y+\dfrac{9}{4})+z^2-\dfrac{25}{4}\\=(x-2)^2+(y-\dfrac{3}{2})^2+z^2-\dfrac{25}{4}\geq \dfrac{-25}{4}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2;y=\dfrac{3}{2};z=0$
Vậy...
$4.\\M=\sqrt{(x-1999)^{2}}+\sqrt{(x-2000)^{2}}+\sqrt{(x-2011)^{2}}\\=|x-1999|+|x-2000|+|x-2011|$
Áp dụng t/c $|A|=|-A|\Rightarrow |x-2011|=|2011-x|$
Áp dụng t/c $|x|+|y|\geq |x+y|\Rightarrow |x-1999|+|2011-x|\geq |x-1999+2011-x|=12$
Mà $|x-2000|\geq 0\Rightarrow M\geq 12+0=12$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1999\geq 0\\ x-2000=0\\ 2011-x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 1999\\ x=2000\\ x\leq 2011\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2000$
Vậy...

 

[tranvandong08]

2.Xét Hiệu :
[tex]\dpi{150} a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-ac-ad=\frac{a^{2}}{4}-2\frac{a}{2}b+b^{2} +\frac{a^{2}}{4}-2\frac{a}{2}c+c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-2\frac{a}{2}d+d^{2}+\frac{a^{2}}{4}=(\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{a}{2}-c)^{2}+(\frac{a}{2}-d)^{2}+\frac{a^{2}}{4}\geq 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0

1.Cách 2: Miền giá trị
[tex]\dpi{150} A=\frac{x^{2}-2x+2011}{x^{2}} \Leftrightarrow Ax^{2}=x^{2}-2x+2011\Leftrightarrow x^{2}\left ( 1-A \right )-2x+2011[/tex]
[tex]\dpi{150} \Delta = (-2)^{2}-4.\left ( 1-A \right ).2011=4+8044A-8044=8044A-8040[/tex]
Để phương trình có nghiệm
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow 8044A-8040\geq 0\Leftrightarrow A\geq \frac{2010}{2011}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=2011