Tìm cực trị.

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y>0$ và $x^2+y=1$.

Tìm GTNN của biểu thức: T= $\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}$

 

[eye_smile]

$T$ \geq $\sqrt{{({x^2}+y)^2}+{(\dfrac{1}{{x^2}}+\dfrac{1}{y})^2}}$ \geq $\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2};y=\dfrac{1}{2}$

 

[trungthinh.99]

$T$ \geq $\sqrt{{({x^2}+y)^2}+{(\dfrac{1}{{x^2}}+\dfrac{1}{y})^2}}$ \geq $\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2};y=\dfrac{1}{2}$

Giải thích rõ hơn xíu, chẳng hiểu gì cả.....

____________________________________________________

@braga: BĐT Minkovsky

 

[trungthinh.99]

@braga: BĐT Minkovsky

_
BĐT Minkowsky

Cho công thức cụ thể được không? cái này rất ít áp dụng nên có cách giải khác không ? Cái này rối lắm.
___________________________________________

 

[duchieu300699]

Áp dụng BĐT $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

 

[eye_smile]

Nghe tên thế thôi nhưng mà AD cho 2 sô thì là BĐT quen thuộc
Có thể dễ dàng c/m = cách bình phương

 

[trungthinh.99]

Áp dụng BĐT $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Chứng minh ? ) )

_________________________________________

 

[duchieu300699]

Chứng minh ? ) )

_________________________________________

Dùng phép biến đổi tương đương

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $(a+c)^2+(b+d)^2$

\Leftrightarrow $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $2(ac+bd)$

\Leftrightarrow $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $ac+bc$

\Leftrightarrow $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ \geq $(ac+bd)^2$ (BĐT Bunhia)
\Rightarrow đpcm :-j:-j

 

[trungthinh.99]

Dùng phép biến đổi tương đương

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $(a+c)^2+(b+d)^2$

\Leftrightarrow $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $2(ac+bd)$

\Leftrightarrow $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $ac+bc$

\Leftrightarrow $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ \geq $(ac+bd)^2$ (BĐT Bunhia)
\Rightarrow đpcm :-j:-j

Ủa, chứng minh BĐT vẫn được dùng BĐT hả ? Giờ mới biết... hồi này làm nháp làm ra tới đoạn đó rồi, cũng nghĩ là bunhia nhưng lại nghĩ chứng minh BĐT thì k đc dùng BĐT thức...

 

[duchieu300699]

Ủa, chứng minh BĐT vẫn được dùng BĐT hả ? Giờ mới biết... hồi này làm nháp làm ra tới đoạn đó rồi, cũng nghĩ là bunhia nhưng lại nghĩ chứng minh BĐT thì k đc dùng BĐT thức...

Chứng minh BĐT này vẫn được quyền sử dụng 1 BĐT khác, miễn sao nó không phải là hệ quả, không liên quan gì hết là được =D>