Uhm,gớm,ghê quá,bạn giỏi quá ^^!Chắc bạn cũng ko nhớ mình là ai nhỉ,lâu lắm rồi.Có vẻ hơi khinh người
).Thôi,mình giải luôn vậy,haizzzzz.
Do [tex]a^2+b^2+c^2=2(a+b+c) [/tex]
Thế vào M ta được
[tex]M=2(1+a)(1+b)(1+c)[/tex]
Đặt [tex]a-1=x[/tex]
[tex]b-1=y[/tex]
[tex]c-1=z[/tex]
Như vậy viết lại biểu thức là [tex]M=2(2+x)(2+y)(2+z)[/tex]
Với điều kiện là [tex]x^2+y^2+z^2=3[/tex]
đây ta nhận xét x+2,y+2,z+2 đều là các số dương nên áp dụng AM-GM cho 3 số này ta được
[tex]M \leq \frac{2(6+x+y+z)^3}{27}[/tex]
Mà [tex]x+y+z \leq \mid x+y+z \mid \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=3[/tex]
Nên maxM=54 khi và chỉ khi x=y=z=1 hay a=b=c=2
Còn tìm min thì ta làm như sau:Ko mất tính tổng quát giả sử [tex]z^2=\min\{x^2,\,y^2,\,z^2\}[/tex]
Khi đó ta dễ thấy [tex] khi đó dễ thấy $-1 \leq z \leq 1.[/tex].Bây giờ ta thấy:
[tex](x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=xy+2(x+y)+\frac{x^2+y^2+z^2+5}{2}\\ =\frac{(x+y)^2}{2}+2(x+y)+\frac{z^2+5}{2}=\frac{(x+y+2)^2}{2}+\frac{z^2+1}{2} \ge \frac{z^2+1}{2}.[/tex]
Do vậy[tex]M \geq (z^2+1)(z+2)=\frac{(3z+1)^{2}(3z+4)}{27}+\frac{50}{27} \geq \frac{50}{27}[/tex] Do [tex]3z+4>0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=\frac{-5}{3},y=z=\frac{-1}{3}[/tex]
Nên MinM=[tex]\frac{50}{27}[/tex] khi và chỉ khi 1 trong 3 số a,b,c bằng [tex]\frac{-2}{3}[/tex],2 số còn lại bằng [tex]\frac{2}{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
