Cho y=x^3 - 3(m+1)x^2 + 9x + m - 2 (Cm)
Tìm m để (Cm) có cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x-2y=0.
Đặt f(X) = y = x^3 - 3(m+1)x^2 + 9x + m - 2
TXĐ: R
f'(X)=y'= 3X^2 - 6(m+1)X + 9
+) Hàm số có cực trị <=> f'(X)=0 có 2 nghiệm phân biệt
<=> [3(m+1)]^2 - 27 > 0
<=> m^2 + 2m - 2 > 0
<=> \left[\begin{m<-1-\sqrt{3}}\\{m>-1+\sqrt{3}}
+) Với \left[\begin{m<-1-\sqrt{3}}\\{m>-1+\sqrt{3}} thì hàm số đã cho luôn có 2 điểm cực trị A(X1,y1) ; B(X2; y2)
Thực hiện phép chia f(X) cho f'(X) ta được:
f(X)=(1/3).(X-m-1).f'(X) + [6 - 2(m+1)^2]X + 4m + 1
Với mọi m, f'(X) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt X1, X2 <=> f'(X1) = 0 và f'(X2) = 0
Do đó:
y1 = f(X1) = [6 - 2(m+1)^2].X1 + 4m + 1
y2 = f'(X2)= [6 - 2(m+1)^2].X2 + 4m + 1
=> phương trình đường thẳng đi wa điểm cực trị của hàm số là:
(d) y = [6 - 2(m+1)^2]x + 4m + 1
X1, X2 là nghiệm của pt f'(X) = 0. Áp dụng Viet ta có:
X1 + X2 = 2(m+1)
=> Hoành độ điểm I là trung điểm của AB là : X0= (X1 + X2)/2 = m+1
Các điểm cực trị A(X1,y1) ; B(X2; y2) đối xứng nhau wa đường thẳng (d1): x - 2y=0
<=> (d) vuông góc với (d1) và trung điểm I của AB fải thuộc (d1)
<=> (1/2).[6 - 2(m+1)^2] = -1
và [6 - 2(m+1)^2].X0 + 4m + 1 = (1/2).X0
<=> 6 - 2(m+1)^2 = -2
và [6 - 2(m+1)^2].(m+1) + 4m + 1= (m+1)/2
<=> m = 1
P/S: Oài, dài wa'. Nhưng fải làm thía thui pạn ạ! ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
