Tìm cực trị và BĐT:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]B=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
2)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z=\frac{47}{12}[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]P=3x^2+4y^2+5z^2[/TEX]
3)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a} \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
4)Cho [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}[/TEX]
5)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]. Tìm GTN của:
[TEX]A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(y+x)}{xy}[/TEX]
6)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}[/TEX]
7)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \geq a+b+c[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

1)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]B=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

$$B=a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 1+\dfrac{9}{a+b+c}=1+9=10$$

 

[hien_vuthithanh]

7)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \geq a+b+c[/TEX]

$$\dfrac{a^3}{bc}+b+c \ge 3a$$
$$\dfrac{b^3}{ac}+a+c \ge 3b$$
$$ \dfrac{c^3}{ab} +a+b \ge 3c$$

Cộng theo vế có đpcm.

 

[hien_vuthithanh]

3)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a} \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

$$\dfrac{a^3}{a+2b}+\dfrac{b^3}{b+2c}+\dfrac{c^3}{c+2a} = \dfrac{a^4}{a^2+2ab}+\dfrac{b^4}{b^2+2bc}+\dfrac{c^4}{c^2+2ac} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}= \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$$

 

[hien_vuthithanh]

2)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z=\frac{47}{12}[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]P=3x^2+4y^2+5z^2[/TEX]

$$P=3x^2+4y^2+5z^2=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{3}}+ \dfrac{y^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{z^2}{\dfrac{1}{5}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{ \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}}=\dfrac{235}{12}$$

Dấu = tại $x=\dfrac{5}{3} ,y=\dfrac{5}{4},z=1$

 

[an180201]

5)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]. Tìm GTN của:
[TEX]A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(y+x)}{xy}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số $x$ > 0 và $y$ > 0 có:
$x$ + $y$ \geq $2$[TEX]\sqrt{xy}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{x^2(x + y)}{yz}[/TEX] \geq[Tex]\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}[/Tex]
C/m tương tự rồi cộng các vế của 3 bđt trên, ta có:

[TEX]A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(y+x)}{xy}[/TEX] \geq [Tex]\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}[/Tex] + [Tex]\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}[/Tex] + [Tex]\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}[/Tex] \geq[TEX]\frac{2(x + y + z)^2}{\sqrt{xy} + [/TEX][TEX][SIZE=4][FONT=Times New Roman][SIZE=4][FONT=Times New Roman]\sqrt{yz} + [/FONT][/SIZE][/FONT][/SIZE][SIZE=4][FONT=Times New Roman][SIZE=4][FONT=Times New Roman][SIZE=4][FONT=Times New Roman]\sqrt{zx}[/FONT][/SIZE][/FONT][/SIZE]}[/FONT][/SIZE][/TEX] \geq 2
Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow x = y = z = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX]