Tìm cực trị khó

[xfire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x, y là 2 số thực dương thỏa [TEX](x + \sqrt{1 + x^2})(y + \sqrt{1 + y^2})=2012 [/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y
2.Cho x,y,z là số thực dương thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1+ \sqrt{1+x^2}}{x} + \frac{1+ \sqrt{1+y^2}}{y} + \frac{1+ \sqrt{1+z^2}}{z} \leq xyz [/TEX]

 

[trantan0166]

2.Cho x,y,z là số thực dương thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1+ \sqrt{1+x^2}}{x} + \frac{1+ \sqrt{1+y^2}}{y} + \frac{1+ \sqrt{1+z^2}}{z} \leq xyz [/TEX]

Từ điều kiện suy ra $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}=1$

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{1}{x} + \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}}$

$=\dfrac{1}{x}+\sqrt{(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z})} \le \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

Tương tự rồi cộng từng vế ta được

$VT \le 3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) = \dfrac{3(xy+yz+xz)}{xyz} \le \dfrac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz$