Tìm Cực trị (đề thi hsg)

[thuytrangnbk20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x,y là nghiệm của pt: $x^4$+$y^4$-3=xy(1-2xy). Tìm GTLN, GTNN của A = xy.

2) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn : xyz \geq x+y+z+2. Tìm GTNN của x+y+z

3) Cho x,y thỏa mãn: $(x^2 -y^2+1)^2$ +4$x^2$$y^2$ - $x^2$ - $y^2$ = 0

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = $x^2$ + $y^2$

4) Cho biểu thức A = x$\sqrt{3+y}$ + y$\sqrt{3+x}$ với x \geq 0; y \geq 0; x+y=2012.

Tìm GTNN của A

5) Cho 3 số a,b,c thỏa mãn 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1. Tìm GTLN của biểu thức:

B= (a+b+c+3)($\dfrac{1}{a+1}$ + $\dfrac{1}{b+1}$ + $\dfrac{1}{c+1}$)

 

[trantan0166]

Cho mình hỏi cậu học hàm chưa
Nếu học rồi thì mình xin trình bày ra ở dưới
Học rồi thì quá đơn giản :-SS

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cauchy một hit rồi giải bất phương trình.
Bài 2: AM-GM được:
$$(x+y+z)^3 \ge 27(x+y+z)+54 \to x+y+z \ge 6$$
Bài 3: Miền giá trị.
Bài 4:
$$A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}\ge (x+y)\sqrt{3}$$
$$\leftrightarrow x(\sqrt{3+y}-\sqrt{3})+y(\sqrt{3+x}-\sqrt{3}) \ge 0$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $x, y \ge 0$
Vì vậy nên $A \ge 2012\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y=0$ hoặc $x=0$
Bài 5:
Đăt $(x;y;z)=(a+1;b+1;c+1)$ sẽ ra một bài toán quen thuộc.

 

[thopeo_kool]

Bài 1:

$x^4 + y^4 - 3 = xy - 2x^2y^2$

$\leftrightarrow x^4 + y^4 + 2x^2y^2 = xy + 3$

$\leftrightarrow (x^2 + y^2)^2 = xy + 3 \ge (2xy)^2 = 4x^2y^2$

Đặt xy = t có $4t^2 - t - 3 \le 0 \leftrightarrow (4t + 3)(t - 1) \le 0 \leftrightarrow \dfrac{-3}{4} \le t \le 1$

$Min xy = \dfrac{- 3}{4} \leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; y = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}$ hoặc $x = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}; y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$Max xy = 1 \leftrightarrow x = y = \pm 1$

 

[thopeo_kool]

Bài 3 : Cho x;y;z thỏa $x^4 + y^4 + x^2 - 3 = 2y^2(1 - x^2)$

Tìm GTNN; GTLN của $x^2 + y^2$

Bài giải:

- Tìm min

$x^4 + y^4 + x^2 - 3 = 2y^2 - 2x^2y^2$

$\leftrightarrow (x^4 + y^4 + 2x^2y^2) + x^2 - 3 = 2y^2$

$\leftrightarrow (x^2 + y^2)^2 + (x^2 + y^2) - 3 = 3y^2 \ge 0$

Đặt $x^2 + y^2 = t$ có $t^2 + t - 3 \ge 0$

$\leftrightarrow (t + \dfrac{- \sqrt{13} + 1}{2})(t + \dfrac{\sqrt{13} + 1}{2}) \ge 0$

$\leftrightarrow t \ge \dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow y = 0; x = \dfrac{\pm \sqrt{13} - 1}{2}$

- Tìm Max

Mặt khác $(x^2 + y^2)^2 + x^2 - 3 = 2y^2$

$\leftrightarrow (x^2 + y^2)^2 - 2y^2 - 2x^2 + 3x^2 - 3 = 0$

$\leftrightarrow (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) - 3 = - 3x^2 \le 0$

$\leftrightarrow t^2 - 2t - 3 \le 0 \leftrightarrow (t - 3)(t + 1) \le 0$

$\leftrightarrow t \le 3$

Dấu "=" khi và chỉ khi $x = 0; y = \pm \sqrt{3}$