- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Lý thuyết:
Để tìm cực trị của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Ta thực hiện:
1. Tìm tập xác định của hàm f(x)
2. Tính [TEX]f'(x)[/TEX]
3. Tìm các điểm mà [TEX]f'(x)=0[/TEX] hoặc các điểm mà [TEX]f(x)[/TEX] liên tục, nhưng [TEX]f'(x)[/TEX] không xác định.
4. Lập BBT trên khoảng (a;b). Từ đó suy ra các cực trị.
Qui tắc 1:
Hàm f(x) đạt cực đại tại [TEX]x_o[/TEX] khi [TEX]f'(x)[/TEX] đổi dấu từ [TEX]+[/TEX] sang [TEX]-[/TEX] khi đi qua [TEX]x_o[/TEX]
Hàm f(x) đạt cực tiểu tại [TEX]x_o[/TEX] khi [TEX]f'(x)[/TEX] đổi dấu từ [TEX]-[/TEX] sang [TEX]+[/TEX] khi đi qua [TEX]x_o[/TEX]
Qui tắc 2: Xét [TEX]f'(x_o)=0[/TEX]. Nếu [TEX]f''(x_o)>0[/TEX] thì [TEX]x_o[/TEX] là cực tiểu của hàm. Ngược lại thì [TEX]x_o[/TEX] là cực đại của hàm.
Nếu [TEX]f''(x_o)=0[/TEX] thì chưa thể kết luận gì.
Chú ý: Hàm không bao giờ đạt cực trị tại 2 đầu mút của đoạn [a;b], kể cả [TEX]f'(a)=0[/TEX] hay [TEX]f'(b)=0[/TEX]
Ngoài ra: với các hàm số liên tục, ta không cần thiết phải đạo hàm, nếu như đếm được hàm số có [TEX]n[/TEX] nghiệm thì hàm có [TEX]n-1[/TEX] cực trị. Trường hợp 1 nghiệm kép thì ta sẽ đếm là 2 nghiệm.
Ví dụ: Hàm số: [TEX]y=(x-1)(x-2)(x-3)[/TEX] liên tục trên R, có 3 nghiệm nên có 2 cực trị
Hàm số: [TEX]y=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)[/TEX] liên tục trên R. Có 3 nghiệm, nhưng 2 nghiệm kép, nên có tất cả 5 nghiệm. Vậy nên hàm có 4 cực trị.
Bài tập:
Các bài tập cơ bản sẽ không nêu lại, vì cứ theo lý thuyết thông thường là làm được. Ở đây mình chỉ dẫn ra bài tập tìm cực trị với các hàm có trị tuyệt đối.
Tìm các cực trị của hàm số: [tex]y=|x^2-6x+5|+2x[/tex]
Lời giải: Với các bài có sự xuất hiện của trị tuyệt đối, ta phải chia khoảng để phá trị tuyệt đối.
[TEX]\left\{\begin{matrix} x^2-6x+5+2x;x\geq 5 \cup x\leq 1\\ -(x^2-6x+5)+2x;1<x<5\\ \end{matrix}\right.[/TEX]
Tập xác định: R
Vậy ta có: [TEX]y'=\left\{\begin{matrix}2x-4;x>5\cup x<1\\ 8-2x;1<x<5\\ \end{matrix}\right.[/TEX]
Tại x=1 và x=5 [TEX]y'[/TEX] không xác định
Từ đạo hàm ta có: [TEX]y'=0<=>x=4[/TEX]
Như vậy ta có BBT sau:
Từ BBT ta có hàm số đạt cực đại tại x=4, khi đó [TEX]y_{CĐ}=y(4)=11[/TEX]Đ
Hàm đạt cực tiểu tại x=1 hoặc x=5, tương ứng với các [TEX]y_{CT}:y(1)=2;y(5)=10[/TEX]
2.
[TBODY]
[/TBODY]
Để tìm cực trị của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Ta thực hiện:
1. Tìm tập xác định của hàm f(x)
2. Tính [TEX]f'(x)[/TEX]
3. Tìm các điểm mà [TEX]f'(x)=0[/TEX] hoặc các điểm mà [TEX]f(x)[/TEX] liên tục, nhưng [TEX]f'(x)[/TEX] không xác định.
4. Lập BBT trên khoảng (a;b). Từ đó suy ra các cực trị.
Qui tắc 1:
Hàm f(x) đạt cực đại tại [TEX]x_o[/TEX] khi [TEX]f'(x)[/TEX] đổi dấu từ [TEX]+[/TEX] sang [TEX]-[/TEX] khi đi qua [TEX]x_o[/TEX]
Hàm f(x) đạt cực tiểu tại [TEX]x_o[/TEX] khi [TEX]f'(x)[/TEX] đổi dấu từ [TEX]-[/TEX] sang [TEX]+[/TEX] khi đi qua [TEX]x_o[/TEX]
Qui tắc 2: Xét [TEX]f'(x_o)=0[/TEX]. Nếu [TEX]f''(x_o)>0[/TEX] thì [TEX]x_o[/TEX] là cực tiểu của hàm. Ngược lại thì [TEX]x_o[/TEX] là cực đại của hàm.
Nếu [TEX]f''(x_o)=0[/TEX] thì chưa thể kết luận gì.
Chú ý: Hàm không bao giờ đạt cực trị tại 2 đầu mút của đoạn [a;b], kể cả [TEX]f'(a)=0[/TEX] hay [TEX]f'(b)=0[/TEX]
Ngoài ra: với các hàm số liên tục, ta không cần thiết phải đạo hàm, nếu như đếm được hàm số có [TEX]n[/TEX] nghiệm thì hàm có [TEX]n-1[/TEX] cực trị. Trường hợp 1 nghiệm kép thì ta sẽ đếm là 2 nghiệm.
Ví dụ: Hàm số: [TEX]y=(x-1)(x-2)(x-3)[/TEX] liên tục trên R, có 3 nghiệm nên có 2 cực trị
Hàm số: [TEX]y=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)[/TEX] liên tục trên R. Có 3 nghiệm, nhưng 2 nghiệm kép, nên có tất cả 5 nghiệm. Vậy nên hàm có 4 cực trị.
Bài tập:
Các bài tập cơ bản sẽ không nêu lại, vì cứ theo lý thuyết thông thường là làm được. Ở đây mình chỉ dẫn ra bài tập tìm cực trị với các hàm có trị tuyệt đối.
Tìm các cực trị của hàm số: [tex]y=|x^2-6x+5|+2x[/tex]
Lời giải: Với các bài có sự xuất hiện của trị tuyệt đối, ta phải chia khoảng để phá trị tuyệt đối.
[TEX]\left\{\begin{matrix} x^2-6x+5+2x;x\geq 5 \cup x\leq 1\\ -(x^2-6x+5)+2x;1<x<5\\ \end{matrix}\right.[/TEX]
Tập xác định: R
Vậy ta có: [TEX]y'=\left\{\begin{matrix}2x-4;x>5\cup x<1\\ 8-2x;1<x<5\\ \end{matrix}\right.[/TEX]
Tại x=1 và x=5 [TEX]y'[/TEX] không xác định
Từ đạo hàm ta có: [TEX]y'=0<=>x=4[/TEX]
Như vậy ta có BBT sau:
Từ BBT ta có hàm số đạt cực đại tại x=4, khi đó [TEX]y_{CĐ}=y(4)=11[/TEX]Đ
Hàm đạt cực tiểu tại x=1 hoặc x=5, tương ứng với các [TEX]y_{CT}:y(1)=2;y(5)=10[/TEX]
2.
| x | -oo | 1 | 2 | 4 | 5 | +oo | |||||
| f'(x) | - | || | + | + | + | 0 | - | || | + | ||
| f(x) |
