Dãy :$U_1=\dfrac{2}{5};\;\; U_{n+1}=\dfrac{1}{U_n+2}$
Khi đó chữ số thập phân thứ $n$ của $\sqrt 2$ là
$x_n=\left\lfloor {10}^nU_{n+1}\right\rfloor-10\left\lfloor {10}^{n-1}U_n\right\rfloor$
Ví dụ: Dãy $\{U_n\}$ của ta
$\dfrac{2}{5},\dfrac{5}{12},\dfrac{12}{29},\dfrac{29}{70},\dfrac{70}{169},\dfrac{169}{408},...$
$x_1=\left\lfloor {10}^1\dfrac{5}{12}\right\rfloor-10\left\lfloor {10}^{0}\dfrac{2}{5}\right\rfloor=4$
$x_2=\left\lfloor {10}^2\dfrac{12}{29}\right\rfloor-10\left\lfloor {10}^{1}\dfrac{5}{12}\right\rfloor=1$
v.v...
(Có vẻ cũng không khả quan lắm !)
--------------------
Giải thích: Dãy $\{U_n\}$ được xác định như trên, có giới hạn là $\sqrt 2-1$. Thực tế nó dần đến giá trị đó rất nhanh
$U_1$ chính xác đến $10^{-1}$
$U_2$ chính xác đến $10^{-2}$
$U_3$ chính xác đến $10^{-2}$
$U_4$ chính xác đến $10^{-3}$
....
Em chỉ cần tìm ra giá trị bằng phân số của $U_{19}$ (hoặc lớn hơn càng tốt) rồi lấy kết quả phép chia (có thể thực hiện bằng tay!) thì 18 chữ số sau dấu phẩy đó đều chính là các chữ số sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$
Phương pháp xấp xỉ căn bậc 2 của số nguyên bằng phân số như trên có thể áp dụng để tính căn bậc 2 của số nguyên bất kỳ. Chẳng hạn $\sqrt{3}$
Ta có: $\sqrt{3}=1,73...;\;\;\sqrt{3}-1=0,73...$
$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2\Rightarrow (\sqrt{3}-1)=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}\;\;\;(*)$
Ta chọn dãy $\{U_n\}$ sao cho nó có giới hạn là $(\sqrt{3}-1)$, căn cứ vào $(*)$ thì $\{U_n\}$ có dạng:
$U_{n+1}=\dfrac{2}{U_n+2}$
Chọn số hạng đầu tiên $U_1$ càng gần $0,7$ càng tốt: $U_1=\dfrac{7}{10}$, ta tính được:
$U_2=\dfrac{2}{U_1+2}=\dfrac{20}{27};\;\;\;$ $U_3=\dfrac{27}{37}$
$U_4=\dfrac{74}{101};\;\;\;U_5=\dfrac{101}{138};\;\;\; U_6=\dfrac{ 276 }{377} ;....$
$U_{12}=\dfrac{14346}{19597}\approx 0,7320508$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn