Nhận thấy nếu [imath]\lim _{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2) \neq 0[/imath] thì [imath]\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2}{\sqrt{x-1}}=\infty[/imath].
Từ đó [imath]\lim _{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2)=0 \Leftrightarrow \sqrt{m+1}+\sqrt{n+1}-2=0[/imath]
Ta biến đổi [imath]\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2=\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-(\sqrt{m+1}+\sqrt{n+1})[/imath]
[imath]=(\sqrt{x^2+m}-\sqrt{m+1})+(\sqrt{x+n}-\sqrt{n+1})[/imath]
[imath]=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{m+1}}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x+n}+\sqrt{n+1}}[/imath]
Từ đó [imath]\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2}{\sqrt{x-1}}=\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x-1}(x+1)}{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{m+1}}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+n}+\sqrt{n+1}}[/imath]
Ta thấy nếu [imath]m, n \neq -1[/imath] thì [imath]\sqrt{n+1},\sqrt{m+1} \neq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow \lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x-1}(x+1)}{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{m+1}}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{0}{2\sqrt{m+1}}+\dfrac{0}{2\sqrt{n+1}}=0[/imath]
Nếu [imath]m=-1[/imath] thì [imath]n=3[/imath]. Ta có:
[imath]\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2}{\sqrt{x-1}}=\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x-1}}[/imath]
[imath]=\lim _{x \to 1^+} (\sqrt{x+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x+3}+2)})[/imath]
[imath]=\lim _{x \to 1^+} (\sqrt{x+1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}+2}=\sqrt{2})[/imath]
Nếu [imath]n=-1[/imath] thì [imath]m=3[/imath]. Ta có:
[imath]\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2+m}+\sqrt{x+n}-2}{\sqrt{x-1}}=\lim _{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}}[/imath]
[imath]=\lim _{x \to 1^+} (1+\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x^2+3}+2)})[/imath]
[imath]=\lim _{x \to 1^+} (1+\dfrac{\sqrt{x-1}(x+1)}{\sqrt{x^2+3}+2})=1[/imath]
Vậy [imath]m=3,n=-1[/imath] thỏa mãn,
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Giới hạn hàm số
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
