Tìm các cặp giá trị x,y

[pianopynk6789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn:
[TEX] \sqrt{2013}(x\sqrt{y-2013} + y\sqrt{x-2013}) = xy[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzz

ĐK( [TEX]x,y \geq 2013[/TEX]). Đặt [TEX]\sqrt[]{x-2013}=a ; \sqrt[]{y-2013}=b ( a,b \geq 0)[/TEX].
=> [TEX] x= a^2+2013, y=b^2+2013[/TEX]. lúc đó phương trình trở thành:
[TEX]\sqrt[]{2013}[ (2013+a^2)b+ (2013+b^2)a ] = (a^2+2013)(b^2+2013)[/TEX]
<=> [TEX]\sqrt[]{2013}(ab+2013)(a+b)= (a^2+2013)(b^2+2013)[/TEX]
mặt khác theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
[TEX](a^2+2013)(b^2+2013) \geq (ab+2013)^2 (1)[/TEX] và[TEX] (a^2+2013)(2013+b^2) \geq (\sqrt[]{2013}a+\sqrt[]{2013}b)^2= [\sqrt[]{2013}(a+b)]^2 (2)[/TEX]
Nhân (1) và (2) vế theo vế có [TEX][(a^2+2013)(b^2+2013)]^2 \geq (ab+2013)^2[\sqrt[]{2013}(a+b)]^2[/TEX] => [TEX](a^2+2013)(b^2+2013) \geq \sqrt[]{2013}(ab+2013)(a+b)[/TEX]. dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=\sqrt[]{2013}[/TEX] => FT trên có nghiệm [TEX]a=b=\sqrt[]{2013}[/TEX] <=> [TEX]x=y=4026[/TEX].
vậy [TEX]x=y=4026[/TEX].