Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 72. Gọi AH, AM theo thứ tự là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết AM-AH=7
Gọi $a, b, c$ lần lượt là độ dài 3 cạnh $BC, CA, AB$
Ta có $a+b+c=72$ và $a^2=b^2+c^2$
Hệ thức lượng trong tam giác $ABC$:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}$
Suy ra $AH^2=\dfrac{AB^2AC^2}{AB^2+AC^2}=\dfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{b^2c^2}{a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{bc}{a}$
Lại có tính chất đường phân giác:
$\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{MC+MB}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\Rightarrow\dfrac{MC}{b}=\dfrac{a}{b+c}\Rightarrow MC=\dfrac{ab}{b+c}$
Ta có $\cos\widehat{C}=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{b}{a}$
Định lý hàm số cos:
$AM^2=AC^2+MC^2-2.AC.MC.\cos{\widehat{C}}=b^2+\dfrac{a^2b^2}{(b+c)^2}-2b\dfrac{ab}{b+c}.\dfrac{b}{a}=\dfrac{2b^2c^2}{(b+c)^2}$
Suy ra $AM=\dfrac{\sqrt{2}bc}{b+c}$
Do $AM-AH=7$ nên $\dfrac{\sqrt{2}bc}{b+c}-\dfrac{bc}{a}=7$
Ta được hệ $\left\{\begin{matrix}
a+b+c=72&(1)\\
a^2=b^2+c^2&(2)\\
\dfrac{\sqrt{2}bc}{b+c}-\dfrac{bc}{a}=7&(3)\end{matrix}\right.$
Từ $(1),(2)$ Ta có $a^2=b^2+c^2$
$\Leftrightarrow(72-b-c)^2=b^2+c^2$
$\Leftrightarrow 5184+b^2+c^2-144b-144c+2bc=b^2+c^2$
$\Leftrightarrow 5184-144b-144c+2bc=0$
$\Leftrightarrow bc=72(b+c)-2592=72(72-a)-2592=2592-72a$
Thay vào $(3)$ được
$\dfrac{\sqrt{2}(2592-72a)}{(72-a)}-\dfrac{2592-72a}{a}=7$
$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm
Vậy không có tam giác thoả mãn các điều kiện đề bài
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
