Ta có: [TEX]x^2+y+3=(y^2-z^2)^2 \Rightarrow x^2 < (y^2-z^2)^2 \Rightarrow x^2=(y^2-z^2-k)^2 (k \in \mathbb{N^*}, k \leq x^2-y^2)[/TEX]
Khi đó ta có: [TEX](y^2-z^2)^2-y-3=(y^2-z^2-k)^2 \Rightarrow 2kz^2=2ky^2-y-3-k^2 \Rightarrow y+3 \vdots k \Rightarrow y \geq [tex]min\left \{ 1,k-3 \right \}[/tex] [/TEX]
Xét các trường hợp:
+ [TEX]k=1 \Rightarrow 2z^2=2y^2-y-4 [/TEX]
Vì [TEX]2(y-1)^2 \leq 2y^2-y-4 < 2y^2 \forall y \geq 2 \Rightarrow y=1[/TEX] hoặc [TEX]2y^2-y-4=2(y-1)^2 \Rightarrow y=2 \Rightarrow z=1 \Rightarrow x=2[/TEX]
+ [TEX]k=2 \Rightarrow 4z^2=4y^2-y-7[/TEX]
Ta có [TEX]4y^2-y-7-(2y-2)^2 =7y-11 > 0 \forall y \geq 2 \Rightarrow (2y-2)^2 < 2z^2 < 2y^2 \forall y \geq 2 \Rightarrow y=1 \Rightarrow z^2=-1[/TEX] nên không tồn tại.
+ [TEX]k=3 \Rightarrow 6z^2=6y^2-y-12 \Rightarrow y \vdots 6 \Rightarrow y \geq 6[/TEX]
Mà [TEX]6y^2-y-12-6(y-1)^2 =11y-17 > 0 \forall y \geq 2 \Rightarrow 6(y-1)^2<6z^2<6y^2 \forall y \geq 2 \Rightarrow y=1 \Rightarrow 6z^2 <0[/TEX]
+ [TEX]k=4 \Rightarrow 8z^2=8y^2-y-19[/TEX]
Ta có [TEX]8y^2-y-19-8(y-1)^2=15y-27 > 0 \forall y \geq 2 \Rightarrow 8(y-1)^2<8z^2<8y^2 \forall y \geq 2 \Rightarrow y=1 [/TEX](loại)
+ [TEX]k \geq 5 \Rightarrow 2ky^2-y-3-k^2 -2k(y-1)^2=(4k-1)y-k^2-2k-3 \geq (4k-1)(k-3)-k^2-2k-3=3k^2-15k \geq 0 \Rightarrow 2k(y-1)^2 \leq 2kz^2 <2ky^2 \Rightarrow 2k(y-1)^2=2kz^2 \Rightarrow k=5,y=2 \Rightarrow z=1 \Rightarrow x=2[/TEX]
Vậy bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài là [TEX](x,y,z)=(2,2,1)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
