Toán 9 Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho a+b+c là số nguyên tố

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho:
$\dfrac{(a+b)^4}c + \dfrac{(b+c)^4}a + \dfrac{(c+a)^4}b$
là số nguyên và a+b+c là số nguyên tố.

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]a+b+c=p \in \mathbb{P}[/TEX]
Giả sử tồn tại 2 trong 3 số [TEX]a,b,c[/TEX] không nguyên tố cùng nhau, không mất tính tổng quát [TEX](a,b) \neq 1[/TEX]. Gọi [TEX]q[/TEX] là một ước nguyên tố chung của [TEX]a,b[/TEX]
Khi đó ta có: [tex]\frac{(a+b)^4ab+(b+c)^4bc+(c+a)^4ac}{abc}\in \mathbb{Z} \Rightarrow (a+b)^4ab+(b+c)^4bc+(c+a)^4ac \vdots abc \Rightarrow (a+c)^4 \vdots b \Rightarrow (a+c)^4 \vdots q \Rightarrow a+c \vdots q \Rightarrow c \vdots q \Rightarrow a+b+c \vdots q,a+b+c > q[/tex].
Từ đó [TEX]a,b,c[/TEX] đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ta có: [TEX](a+b)^4 \vdots c \Rightarrow (p-c)^4 \vdots c \Rightarrow p^4-4p^3c+6p^2c^2-4pc^3+c^4 \vdots c \Rightarrow p^4 \vdots c[/TEX]
Mà [TEX]c<a+b+c=p \Rightarrow c=1[/TEX]. Tương tự ta có [TEX]a=b=c=1[/TEX]