Cho 3 số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn: (với [TEX]r[/TEX] là số thực dương không đổi)
[tex]\left\{\begin{matrix} b=ar; c=ar^2\\ a+c=b^2\\ a^2+b^2=c^2 \end{matrix}\right.[/tex]
Tìm 3 số [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn?
[TEX]b = ar \Leftrightarrow a=\frac{b}{r}[/TEX]
[TEX]c = ar^2 = \frac{b}{r} . r^2 = br[/TEX]
Theo đề bài ta có:
[TEX]a+c=b^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{b}{r} + br = b^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{r} + r = b[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]a^2+b^2 = c^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{b^2}{r^2} + b^2 = b^2r^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{r^2} + 1 = r^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow r^4 - r^2 - 1 = 0[/TEX]
Phương trình có nghiệm [TEX]r=\sqrt{\varphi}[/TEX], trong đó [TEX]\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/TEX]
Ta biết rằng [TEX]\varphi + 1 = \varphi^2[/TEX]
Vậy ta có:
[TEX]b=\frac{1}{\sqrt{\varphi}} + \sqrt{\varphi} = \frac{\varphi + 1}{\sqrt{\varphi}} = \frac{\varphi^2}{\sqrt{\varphi}} = \varphi^{\frac{3}{2}} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{\frac{3}{2}} [/TEX]
[TEX]a = \frac{ \varphi^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\varphi}} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} [/TEX]
[TEX]c = \varphi^{\frac{3}{2}} . \sqrt{\varphi} = \varphi^2 = \varphi + 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} +1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}[/TEX]
Vậy có 1 bộ ba số [TEX](a;b;c) = ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{\frac{3}{2}}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}; \frac{3+\sqrt{5}}{2}) [/TEX] thỏa mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
