Toán 8 Tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên $A=2^{9^{2010}}$

[Thanh thiện]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên [imath]A=2^{9^{2010}}[/imath]
Cách làm luôn nha, có thể giải bằng máy tính

 

[7 1 2 5]

Ta đi tìm số dư của [imath]A[/imath] cho [imath]1000[/imath].
Ta thấy: [imath]2^{100}=1024^{10} \equiv 24^{10}=2^{30}.3^{10}=1024^3.59049 \equiv 24^3.49=13824.49 \equiv 824.49=376(\mod 1000)[/imath]
Và [imath]\overline{...376}^k=\overline{...376}[/imath] (cái này chứng minh được nhưng chắc là có trong lý thuyết của em rồi nên không chứng minh lại nhé)
Từ đó ta chỉ cần đi tìm số dư của [imath]9^{2010}[/imath] cho [imath]100[/imath].
Lại có: [imath]9^{10}=(9^5)^2=59049^2 \equiv 49^2=2401 \equiv 1(\mod 100)[/imath]
[imath]\Rightarrow 9^{2010} \equiv 1(\mod 100)[/imath]
Từ đó [imath]9^{2010}=100k+1(k \in \mathbb{N}^*) \Rightarrow 2^{9^{2010}}=2^{100k+1}=2.2^{100k}=2.\overline{...376}^k=2.\overline{...376}=\overline{...752}[/imath]
Vậy 3 chữ số tận cùng của [imath]A[/imath] là [imath]752[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học

 

[2712-0-3]

Nhận thấy [imath]2^4=16[/imath] và [imath]\overline{..6}^n=\overline{..6}[/imath] nên ta sẽ đi tìm số dư của [imath]9^{2010}[/imath] khi chia cho [imath]4[/imath].
Lại có: [imath]9[/imath] chia [imath]4[/imath] dư [imath]1[/imath] nên [imath]9^{2010}[/imath] chia [imath]4[/imath] cũng dư [imath]1[/imath].
Từ đó [imath]9^{2010}=4k+1(k \in \mathbb{N}^*) \Rightarrow 2^{9^{2010}}=2^{4k+1}=2.16^k=2.\overline{..6}=\overline{..2}[/imath]
Vậy tận cũng của [imath]A[/imath] là [imath]2[/imath].


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học

Mộc NhãnBa chữ số tận cùng anh ơi

 

[7 1 2 5]

Ba chữ số tận cùng anh ơi

HT2k02(Re-kido)A sửa rồi nhoa =))

 

[Thanh thiện]

Ta đi tìm số dư của [imath]A[/imath] cho [imath]1000[/imath].
Ta thấy: [imath]2^{100}=1024^{10} \equiv 24^{10}=2^{30}.3^{10}=1024^3.59049 \equiv 24^3.49=13824.49 \equiv 824.49=376(\mod 1000)[/imath]
Và [imath]\overline{...376}^k=\overline{...376}[/imath] (cái này chứng minh được nhưng chắc là có trong lý thuyết của em rồi nên không chứng minh lại nhé)
Từ đó ta chỉ cần đi tìm số dư của [imath]9^{2010}[/imath] cho [imath]100[/imath].
Lại có: [imath]9^{10}=(9^5)^2=59049^2 \equiv 49^2=2401 \equiv 1(\mod 100)[/imath]
[imath]\Rightarrow 9^{2010} \equiv 1(\mod 100)[/imath]
Từ đó [imath]9^{2010}=100k+1(k \in \mathbb{N}^*) \Rightarrow 2^{9^{2010}}=2^{100k+1}=2.2^{100k}=2.\overline{...376}^k=2.\overline{...376}=\overline{...752}[/imath]
Vậy 3 chữ số tận cùng của [imath]A[/imath] là [imath]752[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học

Mộc NhãnHình như ba chữ số tận cùng là 224 mới đúng chứ

 

[7 1 2 5]

Hình như ba chữ số tận cùng là 224 mới đúng chứ

Thanh thiện
Anh đã kiểm tra kỹ bằng Wolfram Alpha rồi nhé.

 

[2712-0-3]

Có một hướng gần giống, cũng có lập luận tại sao lại là [imath]2^{100}[/imath], không biết là do em quên hay là em chưa được dạy nữa @Mộc Nhãn anh ạ.
Um thì giờ ta cần tìm số [imath]a[/imath] sao cho lấy 3 chữ số tận cùng của [imath]2^a[/imath]nhân với [imath]2^a[/imath] nó vẫn ra 3 chữ số tận cùng như thế , đó là suy nghĩ sau này của mình, kiểu để nó k bị thay đổi thì khi đó tách cái [imath]9^{2010}[/imath] ra thành [imath]aq + r[/imath].
Vậy tìm như nào? Dễ vậy điều kiện tương đương: [imath]2^a .2^a - 2^a \vdots 1000 \Rightarrow 2^a (2^a -1) \vdots 1000[/imath]
Mà [imath]1000 = 2^3 . 5^3[/imath], dễ có điều kiện [imath]2^3[/imath] không cần lo, giờ thì nó trở thành: [imath]2^a -1 \vdots 5^3[/imath]
Lúc này dự đoán 1 cái a thỏa mãn thôi, liên quan đến phần định lý Euler : [imath]\phi (5^3 ) = 100 \Rightarrow 2^{100} -1 \vdots 5^3[/imath]
Hehe cái này k phù hợp với lớp 8 lắm nhma ai thích đọc qua để hiểu thêm nhé