Toán 11 Tìm $a$ để $u_{k+1}=0$

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy [imath]u_n[/imath] xác định bởi: [imath]u_0=0,u_1=1[/imath] và [imath]u_{n+2}=\dfrac{a}{n+1}u_{n+1}+\dfrac{n-k}{n+1}u_{n}[/imath] ([imath]n \geq 0[/imath]) với [imath]k[/imath] là 1 số nguyên dương cho trước
a) Với [imath]a=0[/imath]. tính [imath]u_{k+1}[/imath]
b) Tìm a lớn nhất để [imath]u_{k+1}=0[/imath]

 

[L04d1ng99..]

a) Với a=0, ta có:
[imath]u_{n+2}=\frac{n-k}{n+1}u_n=(\frac{n-k}{n+1})^b u_{n-2b} (n \ge 2b \ge 0)[/imath]
Có: [imath]u_{k+1}=(\frac{k-1-k}{k-1+1})^b u_{k-1-2b}=(-\frac{1}{k})^b u_{k-1-2b} (k-1 \ge 2b \ge 0)[/imath]
Với k chẵn: k-1 lẻ => [imath]b=\frac{k-2}{2}[/imath]
[imath]u_{k+1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-2}{2}} u_{1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-2}{2}}[/imath]
Với k lẻ: k-1 chẵn => [imath]b=\frac{k-1}{2}[/imath]
[imath]u_{k+1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-1}{2}} u_{0}=0[/imath]
b) Loading...

 

[7 1 2 5]

a) Với a=0, ta có:
[imath]u_{n+2}=\frac{n-k}{n+1}u_n=(\frac{n-k}{n+1})^b u_{n-2b} (n \ge 2b \ge 0)[/imath]
Có: [imath]u_{k+1}=(\frac{k-1-k}{k-1+1})^b u_{k-1-2b}=(-\frac{1}{k})^b u_{k-1-2b} (k-1 \ge 2b \ge 0)[/imath]
Với k chẵn: k-1 lẻ => [imath]b=\frac{k-2}{2}[/imath]
[imath]u_{k+1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-2}{2}} u_{1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-2}{2}}[/imath]
Với k lẻ: k-1 chẵn => [imath]b=\frac{k-1}{2}[/imath]
[imath]u_{k+1}=(-\frac{1}{k})^{\frac{k-1}{2}} u_{0}=0[/imath]
b) Loading...

L04d1ng99..Với [imath]k[/imath] lẻ thì bạn giải đúng rồi, còn với [imath]k[/imath] chẵn còn sai nhé.
Từ giả thiết ta có [imath]u_{n+2}=\dfrac{n-k}{n+1}u_n \forall n \in \mathbb{N}[/imath]
Suy ra [imath]u_{k+1}=\dfrac{-1}{k}u_{k-1}[/imath]
[imath]u_{k-1}=\dfrac{-3}{k-2}u_{k-3}[/imath]
[imath]\cdots[/imath]
[imath]u_3=\dfrac{-(k-1)}{2}u_1[/imath]
Nhân vế theo vế và triệt tiêu các hạng tử chung ta có: [imath]u_{k+1}=\dfrac{(-1)(-3)...[-(k-1)]}{2\cdot 4 \cdots k}=\dfrac{(-1)^{\frac{k}{2}}(k-1)!!}{k!!}[/imath]