Tiếp tuyến.

[giathi95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (Cm): [TEX]y=x^3-3x^2+mx+4-m[/TEX]. Đường thẳng (d) y=3-x cắt một đường cong bất kì (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự) , tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ 2 là M và N. Tìm m để tứ giác AMNB là hình thoi.
anh em giải giúp chi tiết nhé, thầy tớ chữa rồi nhưng rất dài dòng và khó hiểu...........

 

[duynhan1]

Cho (Cm): [TEX]y=x^3-3x^2+mx+4-m[/TEX]. Đường thẳng (d) y=3-x cắt một đường cong bất kì (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự) , tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ 2 là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.
anh em giải giúp chi tiết nhé, thầy tớ chữa rồi nhưng rất dài dòng và khó hiểu...........

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:
[TEX]x^3-3x^2+mx+4-m = 3-x \\ \Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x+m-1) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1 \\ (x-1)^2 = 2-m \right. (1) [/TEX]
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
[TEX]\left{ 2-m \not= 0 \\ 2-m > 0 \right. \\ \Leftrightarrow m< 2[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow \left[ x = 1 \\ x= 1 \pm \sqrt{2-m}[/TEX]
Do (d) cắt (C) theo thứ tự lần lượt tại A, I, B nên ta có:
[TEX]x_A < x_I < x_B [/TEX], do đó:
[TEX]\left{ x_A = 1 - \sqrt{2-m} \\ x_B = 1 + \sqrt{2-m} \\ x_I = 1\right. \Rightarrow \left{ A( 1 - \sqrt{2-m}; 2 + \sqrt{2-m} ) \\ B ( 1 + \sqrt{2-m} ; 2 - \sqrt{2-m} ) \\ I(1;2)\right. [/TEX]

Ta có: [TEX]y"= 0 \Leftrightarrow x = 1[/TEX] nên I cũng là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Do đó I là trung điểm của AB.
MN qua I và MN vuông góc với AB (hay [TEX]d:\ y = 3- x[/TEX]) nên ta có phương trình đường thẳng MN:
[TEX]MN:\ y = (x- 1) + 2 \\ \Leftrightarrow y = x+ 1 [/TEX]
Phương trình hoành độ giao điểm của MN và (C) là:
[TEX]x^3-3x^2+mx+4-m = x+ 1 \\ \Leftrightarrow (x^2-2x+(m-3)) (x-1) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1 \\ x= 1 \pm \sqrt{4-m} (do\ m<2) \right. \Rightarrow \left{ x_M = 1 - \sqrt{4-m} \\ x_N = 1+ \sqrt{4-m} \right. \Rightarrow \left[ \left{ M (1 - \sqrt{4-m}; 2 - \sqrt{4-m}) \\N (1 + \sqrt{4-m}; 2 + \sqrt{4-m}) \right. \\ \left{ M(1 + \sqrt{4-m}; 2 + \sqrt{4-m}) \\N (1 - \sqrt{4-m}; 2 - \sqrt{4-m}) \right. [/TEX]
[tex]\red \bold Truong\ hop\ 1:\ \left{ M (1 - \sqrt{4-m}; 2 - \sqrt{4-m}) \\N (1 + \sqrt{4-m}; 2 + \sqrt{4-m}) \right. [/tex]
AM là tiếp tuyến của (C) tại A nên ta có:
[TEX]\frac{y_A - y_M}{x_A-x_M} = y'(A) \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2-m} + \sqrt{4-m}}{\sqrt{4-m} - \sqrt{2-m}} = 3( 1-\sqrt{2-m})^2 - 6 ( 1 - \sqrt{2-m})+m \\ \Leftrightarrow \frac{(\sqrt{2-m} + \sqrt{4-m})^2}{2} = 3- 2m \\ \Leftrightarrow 6 - 2m + 2 \sqrt{2-m} \sqrt{4-m} = 6 - 4m \\ \Leftrightarrow \left{ m \le 0 \\ m^2 = m^2 - 6m + 8 \right. \Leftrightarrow m \in \not0 [/TEX]
[tex]\red \bold Truong\ hop\ 2:\ \left{ M(1 + \sqrt{4-m}; 2 + \sqrt{4-m}) \\N (1 - \sqrt{4-m}; 2 - \sqrt{4-m}) \right. [/tex]
AM là tiếp tuyến của (C) tại A nên ta có:
[TEX]\frac{y_A - y_M}{x_A-x_M} = y'(A) \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2-m} - \sqrt{4-m}}{-\sqrt{4-m} - \sqrt{2-m}} = 3( 1-\sqrt{2-m})^2 - 6 ( 1 - \sqrt{2-m})+m \\ \Leftrightarrow \frac{(\sqrt{2-m} - \sqrt{4-m})^2}{2} = 3- 2m \\ \Leftrightarrow 6 - 2m - 2 \sqrt{2-m} \sqrt{4-m} = 6 - 4m \\ \Leftrightarrow \left{ m \g e 0 \\ m^2 = m^2 - 6m + 8 \right. \Leftrightarrow m= \frac43 (thoa\ m < 2) [/TEX]
Vì AM và BN đối xứng nhau qua I nên khi đó BN cũng là tiếp tuyến tại B.
Kết luận: [TEX]m = \frac43[/TEX]

P/s: Bài dài quá nên mình cũng không kiểm soát hết lỗi sai được :-s

.. .