Toán 9 Tiếp tuyến đường tròn

[daukhai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa đường tròn (O,R) đường kính AB, bán kinh OC vuông góc với AB. M là điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (M khác A, B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC và cắt tiếp tuyến tại A lần lượt tại D và E. AE cắt BD tại F. Chứng minh EA . EF không đổi

 

[7 1 2 5]

Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại M của (O) với tiếp tuyến tại B của (O) là I.
Ta có: [tex]OC\perp AB,AB\perp AE\Rightarrow OC//AE[/tex]
Tam giác BFA có BO = OA, OC // AF [tex]\Rightarrow FD=DB[/tex]
Lại có; [tex]AE\perp AB,AB\perp BI\Rightarrow AE//BI[/tex]
Hình thang AEIB có [tex]OD//AE//BI,AO=OB\Rightarrow DE=DI[/tex]
Tứ giác FEBI có FD=DB, DE=EI [tex]\Rightarrow FEBI[/tex] là hình bình hành [tex]\Rightarrow EF=BI[/tex]
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: [tex]AE=EM,BI=IM\Rightarrow EA.EF=EM.IM[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{EOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM},\widehat{IOM}=\frac{1}{2}\widehat{BOM}\Rightarrow \widehat{EOM}+\widehat{MOI}=\frac{1}{2}(\widehat{AOM}+\widehat{MOB})\Rightarrow \widehat{EOI}=90^o[/tex]
Tam giác EOI vuông tại O có [tex]OM\perp EI\Rightarrow EM.IM=OM^2=R^2\Rightarrow EA.EF=R^2[/tex] không đổi