Tiếp tuyến đường tròn-lớp 9

[vuhieu258]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHo (O;R) A nằm ngoài (O) sao cho OA=2R
Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với OA
M chạy trên d.Qua M kẻ hai tiếp tuyến MB,MC với đường tròn
BC cắt MO tại H,cắt AO tại K
a.C/m M,B,O,C cừng nằm trên (I).Xác định I
b.Chứng minh rằng I thuộc đường thẳng cố định
c.Chứng minh OH.OM=$R^2$
d.Chứng minh K cố định
e.Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MBC nhỏ nhất

 

[goodgirla1city]

CHo (O;R) A nằm ngoài (O) sao cho OA=2R
Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với OA
M chạy trên d.Qua M kẻ hai tiếp tuyến MB,MC với đường tròn
BC cắt MO tại H,cắt AO tại K
a.C/m M,B,O,C cừng nằm trên (I).Xác định I

a) Xét tứ giác OBMC:

Do MB là tiếp tuyến tại B của (O) nên $OB \perp \ MB$ => $\widehat{OBM}=90^o$

Do MC là tiếp tuyến tại C của (O) nên $OC \perp \ MC$ => $\widehat{OCM}=90^o$

=> $ \widehat{OBM} + \widehat{OCM}= 90^o + 90^o = 180^o$

=> tứ giác OBMC là tứ giác nội tiếp

=> O,B, M, C cùng nằm trên 1 đường tròn (I)

=> Do $ \widehat{OBM}=90^o$ => $ \triangle \ OMB vuông$

Mà $\triangle \ OMB$ nội tiếp (I) nên I là Trung điểm của cạnh huyền OM

 

[goodgirla1city]

c.Chứng minh $OH.OM=R^2$

Do $ \triangle \ OBM$ vuông tại B (câu a)

Lại có: MB, MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M của (O)(gt)

=> $OM \perp \ BC$ (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> Mà $OM \cap \ BC$ tại H (gt) nên $\triangle \ OBM$ có $BH \perp\ OM$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác:

$OB^2=OH.OM$

Mà $OB=R$

=> $OH.OM=R^2$ (đpcm)

d.Chứng minh K cố định

Xét $ \triangle\ OHK$ và $\triangle\ OAM$, có:

góc O: chung

$BC \perp\ OM$ (gt) => $\widehat{OHC}=90^o$ hay $\widehat{OHK}=90^o$

$OA \perp\ AM$ (gt) => $\widehat{OAM}=90^o$

=> $\widehat{OHK}=\widehat{OAM}=90^o$

=> $\triangle\ OHK$ đồng dạng $\triangle\ OAM$ (g.g)

Mà (O) cố định => R cố định $OA=2R$ cố định

K thuộc OA nên K cố định