Toán 12 tiếp tuyến của đồ thị hàm số

[notEnvy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=(x+a)^3+(x+b)^3+(x+c)^3 có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm có hoành độ x=−1 đồng thời a,b,c là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của tung độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?

mn hướng dẫn bài này giúp mình với ạ

 

[7 1 2 5]

Đặt [imath]f(x)=(x+a)^3+(x+b)^3+(x+c)^3[/imath].
Khi đó hệ số góc tiếp tuyến tại điểm [imath]x=x_0[/imath] là [imath]f'(x_0)=2(x_0+a)^2+2(x_0+b)^2+2(x_0+c)^2=2[3x_0^2+2(a+b+c)x_0+a^2+b^2+c^2][/imath]
Từ đó hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất khi [imath]x=-\dfrac{a+b+c}{3}[/imath]
Suy ra [imath]-\dfrac{a+b+c}{3}=-1 \Rightarrow a+b+c=3[/imath]
Lại có: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là [imath](0,a^3+b^3+c^3)[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của [imath]a^3+b^3+c^3[/imath]
Vì [imath]a,b,c \geq 0[/imath] và [imath]a+b+c =3[/imath] nên [imath]a,b,c \in [0,3][/imath]
Ta thấy: [imath]a(a-3)(a+3) \leq 0 \Rightarrow a^3 \leq 9a[/imath]
Tương tự thì [imath]b^3 \leq 9b, c^3 \leq 9c[/imath]
[imath]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \leq 9(a+b+c)=27[/imath]
Dấu "=" chẳng hạn khi [imath]a=3,b=c=0[/imath].
Vậy giá trị lớn nhất của tung độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

 

[notEnvy]

Đặt [imath]f(x)=(x+a)^3+(x+b)^3+(x+c)^3[/imath].
Khi đó hệ số góc tiếp tuyến tại điểm [imath]x=x_0[/imath] là [imath]f'(x_0)=2(x_0+a)^2+2(x_0+b)^2+2(x_0+c)^2=2[3x_0^2+2(a+b+c)x_0+a^2+b^2+c^2][/imath]
Từ đó hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất khi [imath]x=-\dfrac{a+b+c}{3}[/imath]
Suy ra [imath]-\dfrac{a+b+c}{3}=-1 \Rightarrow a+b+c=3[/imath]
Lại có: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là [imath](0,a^3+b^3+c^3)[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của [imath]a^3+b^3+c^3[/imath]
Vì [imath]a,b,c \geq 0[/imath] và [imath]a+b+c =3[/imath] nên [imath]a,b,c \in [0,3][/imath]
Ta thấy: [imath]a(a-3)(a+3) \leq 0 \Rightarrow a^3 \leq 9a[/imath]
Tương tự thì [imath]b^3 \leq 9b, c^3 \leq 9c[/imath]
[imath]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \leq 9(a+b+c)=27[/imath]
Dấu "=" chẳng hạn khi [imath]a=3,b=c=0[/imath].
Vậy giá trị lớn nhất của tung độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

Mộc Nhãnbước "a(a−3)(a+3)≤0" này là sao ạ? hướng tư duy thế nào mà mình lại thêm bớt 3 để tạo ra bất pt này ạ?

 

[7 1 2 5]

bước "a(a−3)(a+3)≤0" này là sao ạ? hướng tư duy thế nào mà mình lại thêm bớt 3 để tạo ra bất pt này ạ?

quangdientraiz@gmail.comNhận thấy điểm rơi ở đây là một số bằng [imath]3[/imath] và 2 số còn lại bằng [imath]0[/imath] cho nên ta cần xây dựng bất đẳng thức với điểm rơi là [imath]x=0[/imath] với [imath]x=3[/imath].
Khi đó ta xây dựng [imath]x(x-3)(...)[/imath]
Và ta đang cần đánh giá [imath]x^3 \leq kx+q[/imath] (ta chỉ lấy hệ số bậc nhất và hệ số tự do)nên ở chỗ[imath]...[/imath]ta sẽ chọn[imath]x+3[/imath]để bất đẳng thức trở thành [imath]x^3-9x \leq 0[/imath].[/imath]

 

[notEnvy]

Nhận thấy điểm rơi ở đây là một số bằng [imath]3[/imath] và 2 số còn lại bằng [imath]0[/imath] cho nên ta cần xây dựng bất đẳng thức với điểm rơi là [imath]x=0[/imath] với [imath]x=3[/imath].
Khi đó ta xây dựng [imath]x(x-3)(...)[/imath]
Và ta đang cần đánh giá [imath]x^3 \leq kx+q[/imath] (ta chỉ lấy hệ số bậc nhất và hệ số tự do)nên ở chỗ[imath]...[/imath]ta sẽ chọn[imath]x+3[/imath]để bất đẳng thức trở thành [imath]x^3-9x \leq 0[/imath].[/imath]

Mộc Nhãnvậy là ở đây mình áp dụng cô si ạ?

 

[7 1 2 5]

vậy là ở đây mình áp dụng cô si ạ?

quangdientraiz@gmail.comKhông hẳn là vậy nhé. Chúng ta chỉ đang xây dựng bất đẳng thức dạng [imath]x^3 \leq kx+q[/imath] thôi nhé..

 

[notEnvy]

Không hẳn là vậy nhé. Chúng ta chỉ đang xây dựng bất đẳng thức dạng [imath]x^3 \leq kx+q[/imath] thôi nhé..

Mộc Nhãnbất đẳng thức dạng này có tên là gì ạ?

 

[7 1 2 5]

bất đẳng thức dạng này có tên là gì ạ?

quangdientraiz@gmail.comCái này thì không có tên bạn nhé, xây dựng bất đẳng thức này dựa vào việc ta cần đánh giá [imath]a^3[/imath] với [imath]a[/imath] (do giả thiết [imath]a+b+c=3[/imath]) nhé

 

[notEnvy]

Cái này thì không có tên bạn nhé, xây dựng bất đẳng thức này dựa vào việc ta cần đánh giá [imath]a^3[/imath] với [imath]a[/imath] (do giả thiết [imath]a+b+c=3[/imath]) nhé

Mộc Nhãnsr bạn nhưng bạn có cách giải thích nào khác ko ạ, tại mình hồi cấp 2 ko học chuyên sâu về bất đẳng thức nên là phần này mình hơi der ạ