Toán 10 Tích vô hướng của hai vector

[Tiến Phùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Góc giữa 2 vectơ.



Cho 2 vecto [tex]\overrightarrow{EI},\overrightarrow{EJ}[/tex] . Góc giữa 2 vecto là góc IEJ.

2. Cho 2 vecto [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX]. Khi đó tích vô hướng giữa chúng là 1 số thực được xác định bởi: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a.b.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/tex]

Với [TEX]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/TEX] là góc giữa 2 veco a và b

3. Các tính chất của tích vô hướng: Tích vô hướng có đầy đủ các tính chất như phép nhân số thực thông thường ( tính giao hoán, kết hợp, phân phối giữa phép nhân với phép cộng)

4. Phương tích của một điểm với đường tròn:

Cho hình vẽ:

Đường tròn tâm D, và điểm F. Đường thẳng qua F cắt (D) tại H và G. Khi đó phương tích của đường tròn là biểu thức: [tex]\overrightarrow{FH}.\overrightarrow{FG}[/tex] và ta có:

[tex]\overrightarrow{FH}.\overrightarrow{FG}=FD^2-R^2[/tex]

Trong trường hợp điểm F nằm trong (D) thì biểu thức trên vẫn đúng, khi đó : [TEX]FD^2-R^2<0[/TEX]

5. Các biểu thức tọa độ:
Cho [TEX]\overrightarrow{a}(x_1,y_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2)[/TEX]
a. [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2[/tex]
b. [TEX]|\overrightarrow{a}|= \sqrt{x_1^2+y_1^2}[/TEX]
c. [tex]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}[/tex]

Hệ quả quan trọng: 2 vecto vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0.

Dạng bài: Xác định tích vô hướng giữa 2 vecto

Để làm dạng bài này, cần áp dụng công thức mục 2 để tính toán. Nếu như việc tính trực tiếp gặp nhiều khó khăn, thì có thể sử dụng công thức chèn điểm để đưa tích vô hướng đã cho về các tích vô hướng dễ tính hơn.

1. Cho tam giác đều ABC, canh bằng 1. Tính: [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}[/tex]

Ta có: [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=AB.BC.cos120[/tex] = [tex]\frac{-1}{2}[/tex]

(Góc giữa 2 vecto [TEX]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}[/TEX] là góc bù với góc ABC nên có giá trị bằng 120 độ.)

2. Cho các vector [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX] có độ dài bằng 1. Thỏa mãn : [tex]|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}.[/tex] Tính [tex]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/tex]

Giải: Để yên thì chắc chắn không có cách nào để tính, nhưng nếu ta bình phương 2 vế thì ta sẽ có:

[tex]4a^2+9b^2-12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=7<=>4+9-12.a.b.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=7<=>6=12cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})<=>cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}[/tex]

3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Gọi E,G,F lần lượt thỏa mãn BE=1, BG=1,5 , CF=2. Tính cos(EGF)



Để tính góc ta sẽ áp dụng tích vô hướng của 2 vecto : [tex]cos(EGF)=\frac{\overrightarrow{GE}.\overrightarrow{GF}}{GE.GF}[/tex]

Do không thể tính trực tiếp [TEX]\overrightarrow{GE}.\overrightarrow{GF}[/TEX] nên ta phân tích ra các vecto dễ tính hơn. Ta có:
[tex]\overrightarrow{GE}.\overrightarrow{GF}=(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BE})(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}=-GB^2+BE.CF=-0,25[/tex]

Mà áp dụng Pitago ta có: [tex]GE=\sqrt{3,25},GF=\sqrt{6,25}=>GE.GF=\sqrt{20,3125}[/tex]

vậy cosEGF=[tex]\frac{-0,25}{\sqrt{20,3125}}[/tex]