tích phân_lượng giác khó đay!

Q

quynhnga1992

hay

r.a.w said:
[tex]\huge \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{sinx+cosx+1}dx [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Ta có: cosx = A(cosx+sinx+1)+B(cosx-sinx)+C
---> Hệ Ph 3 ẩn A,B,C: A+B=1
A-B=0
A+C=0
---> A=1/2; B=1/2; C=-1/2




Bài toán có dạng f(x)/g(x). Trong đó tử số và mẫu số là những biều thức dạng bậc nhất đối với sinx và cosx, ta thường biến đổi về dạng f(x)= A.g(x)+B.g'(x)
 
D

djbirurn9x

Dễ mà

r.a.w said:
[tex]\huge \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{sinx+cosx+1}dx [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[tex]I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{sinx+cosx+1}dx [/tex]

Xét cái tử : @-)
[TEX] cosx = cos2(\frac{x}{2}) = cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2} = (cos{\frac{x}{2}} - sin{\frac{x}{2}})(cos{\frac{x}{2}} + sin{\frac{x}{2}})[/TEX]

Xét cái mẫu: :eek:
[TEX] cosx + sinx + 1 = cos2(\frac{x}{2}) +1 + sin2(\frac{x}{2}) = 2cos^2\frac{x}{2} - 1 + 1 + sin2(\frac{x}{2}) [/TEX]
[TEX] = 2cos^2\frac{x}{2} + sin2(\frac{x}{2}) = 2cos^2\frac{x}{2} + 2sin{\frac{x}{2}cos{\frac{x}{2} = 2cos{\frac{x}{2}}(cos{\frac{x}{2}} + sin{\frac{x}{2}}) [/TEX]

Lấy tử chia mẫu ta được : :)
[TEX] \frac{cosx}{sinx+cosx+1} = \frac{ (cos{\frac{x}{2}} - sin{\frac{x}{2}})}{2cos{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2} - \frac{sin{\frac{x}{2}}}{2cos{\frac{x}{2}}}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin{\frac{x}{2}}}{2cos{\frac{x}{2}}}dx [/TEX] :cool:

Xong nha :D
 
V

vodichhocmai

Nguyên hàm và tích phân

[TEX]\sqrt{a^2-x^2}[/TEX][tex]\ \ \longrightarrow\ \ [/tex] [TEX]x=asint[/TEX].
[TEX]\sqrt{x^2+a^2}[/TEX] [tex]\ \ \longrightarrow\ \ [/tex] [TEX]x=atant[/TEX].
[TEX]\sqrt{x^2-a^2}[/TEX] [tex]\ \ \longrightarrow\ \ [/tex] [TEX]x=\frac{a}{cost}[/TEX].
Phương pháp đặt ẩn phụ [tex] Euler[/tex]
[TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}\ \ \longrightarrow\ \ \left[{ax^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t\ \ a>0\\\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm \sqrt{c}\ \ c>0\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0) [/TEX]
[tex]I=\int\frac{dx}{(ax+b).\sqrt{mx^2+nx+p}}\ \ \longrightarrow\ \ ax+b=\frac{1}{t}\rightarrow I=\int\frac{dt}{\sqrt{\alpha t^2+\beta t+\omega}}[/tex]
[TEX]I=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{dx}{a.sinx+b.cosx+c}[/TEX][TEX]\ \ \longrightarrow\ \ t=tan\frac{x}{2}[/TEX].
[TEX]I=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{a.sinx+b.cosx}{c.sinx+d.cosx}.dx[/TEX][TEX]\ \ \longrightarrow\ \ a.sinx+b.cosx=A(c.sinx+d.cosx)+B(c.cosx-d.sin x)[/TEX] sau đó dùng đồng nhất.
[TEX]I=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{a.sinx+b.cosx+m_1}{c.sinx+d.cosx+m_2}.dx[/TEX] [TEX]\ \ \longrightarrow\ \ a.sinx+b.cosx+m_1=A(c.sinx+d.cosx+m_2)+B(c.cosx-d.sin x)+C[/TEX] sau đó dùng đồng nhất

Quy tắc [tex] Bioche[/tex]
Giả sử phải tíng tích phân [TEX]\int f(sin x,cosx).dx[/TEX] trong đó [TEX]g(x)=f(sin x,cosx)[/TEX]
+Nếu [TEX]\forall x[/TEX] thuộc miền mà [TEX]g(x)=g(-x)[/TEX] khi đó ta có thể tính nguyên hàm bằng cách đặt [TEX] t=cosx[/TEX]
+Nếu [TEX]g(x)=g(\pi -x)[/TEX] bằng cách đặt [TEX]t=sin x[/TEX]
+Nếu [TEX]g(x)=g(\pi +x)[/TEX] bằng cách đặt [TEX]t=tan x[/TEX]
[tex]Chebyshe\rightarrow F(x) = \int x^m(ax^n +b)^pdx[/tex] : Trong đó a , b là các hằng số và m , n , p là các số hữu tỷ thì nếu rơi vào một số trường hợp đặc biệt ta làm như sau
1, Nếu p là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{x}[/tex] với s là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của m và n
2, Nếu [tex]\frac{m+1}{n}[/tex] là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{ax^n+b}[/tex] với s là mẫu số của p .
3, Nếu [tex]\frac{m+1}{n} + p[/tex] là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{bx^{-n}+a}[/tex] với s là mẫu số của p
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\ \ [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
H

heocon17101111

ai giỏi làm dùm với cân 0 đến pi/2 ln (sin x+1)dx
.....................
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(\frac{x}{2}) + cos(\frac{x}{2}))dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}sin(\frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx[/tex]


đặt : [TEX] t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = 2t - \frac{\pi}{2} => dx = 2dt[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt [/TEX]


đặt : [TEX] u = lnsint \Rightarrow du = \frac{cost}{sint} dt [/TEX]
[TEX] dv = dt \Rightarrow v = t [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt = tlnsint - \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt [/TEX]

sau đó tiếp tục giải [TEX]\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt[/TEX]

mình làm ntn các bạn xem có được ko
 
Last edited by a moderator:
H

heocon17101111

mình gõ nhầm, đã sửa lại ở trên rồi đấy, cậu xem xem ..............
 
S

son5c

[TEX]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin^2(/frac{x}{2})+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2})dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^2dx[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

djbirurn9x

Sửa một chút lỗi nè

heocon17101111 said:
[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(\frac{x}{2}) + cos(\frac{x}{2}))dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}sin(\frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx[/tex]

đặt : [TEX] t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = 2t - \frac{\pi}{2} => dx = 2dt[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt [/TEX]

đặt : [TEX] u = lnsint \Rightarrow du = \frac{cost}{sint} dt [/TEX]
[TEX] dv = dt \Rightarrow v = t [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt = tlnsint - \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt [/TEX]

sau đó tiếp tục giải [TEX]\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt[/TEX]
mình làm ntn các bạn xem có được ko
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})^2}dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln|(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})|dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})dx [/tex]

[TEX] = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln (\sqrt{2}sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}))dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt{2}.dx + 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln (sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}))dx = 2ln\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx + E [/TEX] :p
Đặt : :D
[TEX] t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2t - \frac{\pi}{2} \\ dx = 2dt \end{array} \right.[/TEX]
Đổi cận : :|
[TEX]x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}; x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX] E = 4\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}ln(sint)dt[/TEX]

Cái tích phân này có vẻ dễ hơn nhưng mình chưa nghĩ ra @-), ai biết cách giải thì post để hoàn thiện bài làm nào ( thax nhiều :cool:)
 
P

piterpan

djbirurn9x said:
[tex]I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})^2}dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln|(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})|dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin{\frac{x}{2}} + cos{\frac{x}{2}})dx [/tex]

[TEX] = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln (\sqrt{2}sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}))dx = 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt{2}.dx + 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln (sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}))dx = 2ln\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx + E [/TEX] :p
Đặt : :D
[TEX] t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2t - \frac{\pi}{2} \\ dx = 2dt \end{array} \right.[/TEX]
Đổi cận : :|
[TEX]x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}; x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX] E = 4\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}ln(sint)dt[/TEX]

Cái tích phân này có vẻ dễ hơn nhưng mình chưa nghĩ ra @-), ai biết cách giải thì post để hoàn thiện bài làm nào ( thax nhiều :cool:)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

đến đây hok thiệt rùi vì nếu làm bằng tích phân từng phần thì sẽ xuất hiện [TEX]\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}tcot(t)dt[/TEX]

mà cái này hok phải hàm sơ cấp thì làm thế nào đc****************************?/:)/:)
 
P

piterpan

heocon17101111 said:
[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx + 1 )dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(\frac{x}{2}) + cos(\frac{x}{2}))dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}sin(\frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln\sqrt[2]{2}dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx[/tex]


đặt : [TEX] t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = 2t - \frac{\pi}{2} => dx = 2dt[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}lnsin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) dx = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt [/TEX]


đặt : [TEX] u = lnsint \Rightarrow du = \frac{cost}{sint} dt [/TEX]
[TEX] dv = dt \Rightarrow v = t [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}lnsintdt = tlnsint - \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt [/TEX]

sau đó tiếp tục giải [TEX]\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}tcottdt[/TEX]

mình làm ntn các bạn xem có được ko
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

cậu lam đc đấy rất hay nhưng cái chỗ mà cậu bảo sau đó tiếp tục giải mới là cả một vấn đề dài@-)@-)@-)@-)@-)
 
P

piterpan

mình ko biết cái truy hồi nào hết
cậu làm thử bài này đi
thực sự rất khó
 
D

datyahoo

Nguyên hàm và tích phân
cho lý thuyết xuông thì ai mà hiểu được
phải cho thêm bài tập rùi hương dẫn giải luôn nữa chứ
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom