Toán 12 Tích phân

[Nguyễn Hương Trà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; \frac{ \pi}{2}]$, thỏa mãn $ \int_0^{ \frac{ \pi}{2}} {[f^2(x)- 2 \sqrt{2} f(x)sin(x- \frac{ \pi}{4})]} dx = \frac{2- \pi}{2}$

Tính tích phân $I= \int_0^{ \frac{ \pi}{2}} {f(x)} dx$

 

[tieutukeke]

[tex]f(x).\left [ 2\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )-f(x) \right ]\leq \frac{1}{4}\left ( f(x)+2\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )-f(x) \right )^2=2sin^{2}\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=1-sin2x[/tex]
Mà [tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-sin2x)dx=\frac{\pi-2}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]f(x)=2\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )-f(x)\Rightarrow f(x)=\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )dx=0[/tex]