[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
câu này làm sao vậy ạ?
Toán 12 Tích phân
- Thread starter namarc1199@gmail.com
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 313
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
- 20 Tháng chín 2013
- 5,018
- 7,484
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
Nhìn cái giả thuyết, để ý ngay có gì đó đặc biệt với $x$ và $1 - x$
Đặt thử $t = 1 - x$ thì $f(1 - t) f(t) = e^{t^2 - t}$, y như cũ
Thôi nhìn thử cái tích phân trước. 1 bên là đa thức, 1 bên là hàm, nghe chả liên quan nên thử dùng từng phần:
$I = \int^1_0 (2x^3 - 3x^2) (\ln f(x))' \, \mathrm{d}x$
$= \left. (2x^3 - 3x^2) \ln f(x) \right|^1_0 - \int^1_0 (6x^2 - 6x) \ln f(x) \, \mathrm{d}x$
Giải quyết hạng tử đầu tiên trước: Cần tính $-f(1)$
Tính $f(1)$ bằng cách thay $x = 0$ và $x = 1$ vào giả thuyết, được $f(0) \cdot f(1) = 1$ và $f(1) \cdot f(0) = 1$... Ờ
Thôi thử giải quyết hạng tử thứ hai coi có manh mối gì không: $6x^2 - 6x = 6(x^2 - x)$ thì quá đẹp rồi, y chang giả thuyết luôn
Nghĩ thử cách đạo hàm giả thuyết, được $x^2 - x = f'(x) f(1-x) - f(x) f'(1-x)$ nghe không xài được cho lắm
Mà cận từ $0$ đến $1$, khi đặt $t = 1 - x$ sẽ không bị đổi cận và $x^2 - x$ còn không bị thay đổi nữa. Đặt thử:
$I_1 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln f(x) \, \mathrm{d}x$
$= \int^0_1 - (t^2 - t) \ln f(1 - t) \, \mathrm{d}t$
$= \int^1_0 (x^2 - x) \ln f(1 - x) \, \mathrm{d}x$
Suy ra $2I_1 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln [ f(x) f(1-x) ] \, \mathrm{d}x = \int^1_0 (x^2 - x)^2 \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{30}$
Tức $I_1 = \dfrac{1}{60}$
Giờ còn cái hạng tử đầu tiên, nãy lúc xử lý cái hạng tử thứ hai mình để ý thấy trên đề có 1 phần giả thuyết bị khuất, nhìn khá giống $f(1) = \ldots$. Nếu có giả thuyết này là xong rồi nhé
Đặt thử $t = 1 - x$ thì $f(1 - t) f(t) = e^{t^2 - t}$, y như cũ
Thôi nhìn thử cái tích phân trước. 1 bên là đa thức, 1 bên là hàm, nghe chả liên quan nên thử dùng từng phần:
$I = \int^1_0 (2x^3 - 3x^2) (\ln f(x))' \, \mathrm{d}x$
$= \left. (2x^3 - 3x^2) \ln f(x) \right|^1_0 - \int^1_0 (6x^2 - 6x) \ln f(x) \, \mathrm{d}x$
Giải quyết hạng tử đầu tiên trước: Cần tính $-f(1)$
Tính $f(1)$ bằng cách thay $x = 0$ và $x = 1$ vào giả thuyết, được $f(0) \cdot f(1) = 1$ và $f(1) \cdot f(0) = 1$... Ờ
Thôi thử giải quyết hạng tử thứ hai coi có manh mối gì không: $6x^2 - 6x = 6(x^2 - x)$ thì quá đẹp rồi, y chang giả thuyết luôn
Nghĩ thử cách đạo hàm giả thuyết, được $x^2 - x = f'(x) f(1-x) - f(x) f'(1-x)$ nghe không xài được cho lắm
Mà cận từ $0$ đến $1$, khi đặt $t = 1 - x$ sẽ không bị đổi cận và $x^2 - x$ còn không bị thay đổi nữa. Đặt thử:
$I_1 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln f(x) \, \mathrm{d}x$
$= \int^0_1 (t^2 - t) \ln f(1 - t) \, \mathrm{d}x$
$= -\int^1_0 (x^2 - x) \ln f(1 - x) \, \mathrm{d}x$
Giờ muốn xuất hiện tích $f(x) f(1-x)$ thì phải lấy hai thằng $\ln$ cộng lại, tức là... trừ hai thằng $I_1$??
$0 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln [ f(x) f(1-x) ] \, \mathrm{d}x$
$= \int^1_0 (x^2 - x)^2 \, \mathrm{d}x$
$= ...$ (bấm máy tính để coi có gì sai sai không)
$= \dfrac1{30}$ ô-kê em ổn =))
Kiểm tra lại phát...
À ừ $\mathrm{d}x$ chứ không phải $\mathrm{d}t$
$= \int^0_1 (t^2 - t) \ln f(1 - t) \, \mathrm{d}x$
$= -\int^1_0 (x^2 - x) \ln f(1 - x) \, \mathrm{d}x$
Giờ muốn xuất hiện tích $f(x) f(1-x)$ thì phải lấy hai thằng $\ln$ cộng lại, tức là... trừ hai thằng $I_1$??
$0 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln [ f(x) f(1-x) ] \, \mathrm{d}x$
$= \int^1_0 (x^2 - x)^2 \, \mathrm{d}x$
$= ...$ (bấm máy tính để coi có gì sai sai không)
$= \dfrac1{30}$ ô-kê em ổn =))
Kiểm tra lại phát...
À ừ $\mathrm{d}x$ chứ không phải $\mathrm{d}t$
$= \int^0_1 - (t^2 - t) \ln f(1 - t) \, \mathrm{d}t$
$= \int^1_0 (x^2 - x) \ln f(1 - x) \, \mathrm{d}x$
Suy ra $2I_1 = \int^1_0 (x^2 - x) \ln [ f(x) f(1-x) ] \, \mathrm{d}x = \int^1_0 (x^2 - x)^2 \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{30}$
Tức $I_1 = \dfrac{1}{60}$
Giờ còn cái hạng tử đầu tiên, nãy lúc xử lý cái hạng tử thứ hai mình để ý thấy trên đề có 1 phần giả thuyết bị khuất, nhìn khá giống $f(1) = \ldots$. Nếu có giả thuyết này là xong rồi nhé