Tích phân

[sasani]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tích tích phân của
$\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{\sqrt[]{9+3x^2}}{x^2}dx$

 

[dien0709]

Tích tích phân của
$\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{\sqrt[]{9+3x^2}}{x^2}dx$

[TEX]\frac{\sqrt{9+3x^2}}{x^2}=\sqrt{\frac{9+3x^2}{x^4}}=\frac{\sqrt{3}}{x}\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{x})^2+1}[/TEX]

[TEX]t=\frac{\sqrt{3}}{x}\Rightarrow dx=\frac{-\sqrt{3}}{t^2}dt; t\in [1;\sqrt{3}][/TEX]

[TEX]I=\sqrt[]{3}\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{\sqrt[]{t^2+1}tdt}{t^2}[/TEX]

[TEX]u=\sqrt[]{t^2+1}\Rightarrow I=\sqrt[]{3}\int_{\sqrt[]{2}}^{2}\frac{u^2du}{u^2-1}[/TEX]

[TEX]=\sqrt[]{3}\int_{\sqrt[]{2}}^{2}\frac{(u^2-1+1)du}{u^2-1}[/TEX]

Giờ thì dễ rồi bạn tính tiếp nha

 

[linkinpark_lp]

Ngoài ra bạn có thể làm cách sau:

$
\ I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {9 + 3{x^2}} }}{{{x^2}}}dx} \ $

Đặt:
$
\ x = \sqrt 3 \tan t\ $ \Rightarrow $ \ dx = \frac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}t}}dt\ $

Đổi cận:.....

Lúc đó:

$
\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt {9 + 9{{\tan }^2}t} }}{{3{{\tan }^2}t}}.\frac{{\sqrt 3 dt}}{{{{\cos }^2}t}}} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 3 }}{{{{\tan }^2}t.{{\cos }^3}t}}} dt = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}t.\cos t}}dt = \sqrt 3 } \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t.{{\cos }^2}t}}dt = 4\sqrt 3 } \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}\left( {2t} \right)}}dt = 2\sqrt 3 \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left[ {\sin \left( {2t} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {2t} \right)}}} } \ $ đến đây thì nó đã về dạng cơ bản rồi