tích phân

[lunglinh999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]


[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin (x) - cos(x) +1}{sin (x) + 2 cos (x) +3}dx[/TEX]

 

[nightmare16]

[TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]


[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin (x) - cos(x) +1}{sin (x) + 2 cos (x) +3}dx[/TEX]

___________________________________________________________________

Gọi:
I = [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]
Xét tích phân sau:

I* = [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]

Ta có:
I + I* = [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos^{4}x+sin^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]

= [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx [/TEX] = [TEX]\frac{\pi}{4}[/TEX] (1)

Mặt Khác:

I* - I = [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^{4}x - cos^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}dx [/TEX]

= [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^{2}x - cos^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx [/TEX]

= [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{- cos2x}{1 - \frac{\1}{2}.sin^{2}2x}dx [/TEX]

= [TEX] \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(sin2x)}{sin^{2}2x -2}[/TEX]

= [TEX]\frac{\1}{2\sqrt{2}}ln\frac{sin2x - \sqrt{2}}{sin2x + \sqrt{2}}[/TEX] (2)

Từ 1 , 2 . Ta có hệ pt. Giải hệ => I ; I*

 

[braga_779]

cach ngan gon hon

tu I*
ban đặt x=pi/2 - t
dx= -dt
the vao` y
dc ve nhu I
2I=pi/4 ==> I= pi/ 8
máy bạn xem đung ko cho minh y kien nha

kimxakiem2507:

[TEX]*[/TEX] Em nhìn kỹ cận lại xem!

 

[kuteme011]

Câu 2

=\int_{}^{}[A(sinx+2cosx+3)+B(sinx+2cosx+3)+C]dx/(sinx+2cosx+3)
=\int_{}^{}[(A-2B)sinx+(2A+b)cosx+3A+C]dx/(sinx+2cosx+3)
Đồng nhất hệ số ta đc hpt
.A-2B=1 \Rightarrow .A=-1/5
.2A+B=-1 .B=-3/5
.3A+C=1 .C=8/5
\Rightarrow I=\int_{}^{}[(-1/5-3/5d(sinx+2cosx+3)/(sinx+2cosx+3)+8/5[1/(sinx+2cosx+3)]]dx
I=(-1/5x-3/5ln(sinx+2cosx+3)+8/5\int_{}^{}1/(sinx+2cosx+3)]dx
Xét I2=8/5\int_{}^{}1/(sinx+2cosx+3)]dx
Đặt t=tg(x/2)
dt=1/2dx/[1/(2cos^2(x/2)]=1/2dx/[tg^2(x/2)+1] \Rightarrow dx=[tg^2(x/2)+1]dt/2=(t^2+1)dt/2
Ta lại có sinx =2sin(x/2)cos(x/2) .cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
Từ công thứ 1/cos^2(x/2)=tg^2(x/2)+1=t^2+1 \Rightarrow cos(x/2)=\sqrt[ ]{1/(t^2+1}
\Rightarrow sin(x/2)=\sqrt[ ]{t/(t^2+1)}
thế các số liệu vào thì sẽ tính đc I2
Chúc may mắn)